두 직선 ax+by+c=0과 a’x+b’y+c’=0이 한 점에서 만날 때, 방정식

(ax+by+c) + k(a’x+b’y+c’) = 0

(단, k는 실수)의 그래프는 실수 k의 값에 관계없이 항상 두 직선의 교점을 지나는 직선을 나타냅니다.

• 이때 이 교점을 정점이라고 합니다.
• 이 방정식은 두 직선의 교점을 지나는 수많은 직선들 중 하나를 표현하는 방법이에요. (단, a’x+b’y+c’=0 자체는 이 형태로 표현할 수 없어요. 이 내용은 다음 117번 포스팅에서 더 자세히!)
• 어떤 직선의 방정식이 미지수 k를 포함하고 “k의 값에 관계없이 항상 지나는 점”을 찾으라고 하면, 그 식을 k에 대하여 정리한 후, k에 대한 항등식의 성질을 이용해요. 즉, A + kB = 0 꼴로 정리했다면 A=0, B=0을 연립하여 풀면 됩니다.

개념정리 116-1: k값에 따라 변하는 직선들의 공통점!

직선의 방정식에 x, y 외에 다른 문자(예: k, m 등)가 포함되어 있다면, 이 문자의 값에 따라 직선의 기울기나 y절편이 변하면서 다양한 직선들이 그려질 수 있어요. 예를 들어 y = kx + 1이라는 식은 k값에 따라 기울기가 변하지만 항상 점 (0,1)을 지나죠? 이처럼 어떤 문자의 값에 관계없이 항상 일정한 점을 지나는 직선을 “정점을 지나는 직선“이라고 하고, 그 일정한 점을 정점이라고 합니다.

특히, 한 점에서 만나는 두 직선 ax+by+c=0과 a’x+b’y+c’=0이 있을 때, 방정식 (ax+by+c) + k(a’x+b’y+c’) = 0 (k는 실수)은 아주 특별한 의미를 가져요.

이 방정식은 x, y에 대한 일차방정식이므로 직선을 나타내고 (단, 계수가 모두 0이 되지 않는 경우), k의 값에 관계없이 항상 두 직선의 교점 (p,q)를 지나요. 왜냐하면 교점 (p,q)에서는 ap+bq+c=0이고 a’p+b’q+c’=0이므로, 이 좌표를 위 방정식에 대입하면 0 + k \cdot 0 = 0이 되어 항상 성립하기 때문이죠!

따라서 이 형태의 방정식은 “두 직선의 교점을 지나는 직선들의 묶음“을 나타낸다고 생각할 수 있습니다. (단, k값에 따라 직선 a’x+b’y+c’=0 자체는 표현하지 못할 수도 있어요. 이 부분은 다음 개념에서 더 자세히!)

개념정리 116-2: k에 대한 항등식 만들기!

어떤 직선의 방정식이 미지수 k (또는 다른 문자)를 포함하고, “k의 값에 관계없이 항상 지나는 점 (정점)”을 찾으라는 문제가 나오면, 그 방정식은 k에 대한 항등식으로 보고 풀어야 해요.

[정점 찾는 단계]

1. 주어진 직선의 방정식을 문자 k에 대하여 내림차순으로 정리하여 A + kB = 0 또는 kA + B = 0 꼴로 만들어요. (여기서 A와 B는 x, y에 대한 식이 됩니다.)
2. 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 (즉, k에 대한 항등식이 되려면), k의 계수 부분도 0이고, k가 없는 나머지 부분도 0이어야 해요.
   즉, A = 0 이고 B = 0 이어야 합니다.
3. A=0과 B=0이라는 두 식을 연립하여 x, y 값을 구하면, 그 (x,y)가 바로 정점의 좌표가 됩니다.