두 직선 y = mx + n 과 y = m’x + n’에 대하여 다음이 성립해요.

• 두 직선이 서로 수직이면 ⇒ 두 기울기의 곱이 -1이다. 즉, mm’ = -1
• 두 기울기의 곱이 -1이면 (mm’ = -1) ⇒ 두 직선은 서로 수직이다.

(단, 두 직선 중 어느 것도 좌표축에 평행하지 않을 때를 기준으로 합니다. 만약 한 직선이 x축에 평행(m=0)하고 다른 직선이 y축에 평행(기울기 정의 안됨)하면 수직이지만, 이 공식은 직접 적용하기 어렵습니다.)

이 조건은 두 직선이 한 점에서 만나는 경우의 특수한 경우예요.

개념정리 114-1: 90도로 만나는 직선들!

좌표평면 위에서 두 직선이 수직으로 만난다는 것은 두 직선이 이루는 각이 90도(직각)라는 의미예요. 서로 다른 기울기를 가진 두 직선은 항상 한 점에서 만나는데, 그 만나는 각도가 특별히 90도인 경우를 다루는 것이죠.

이러한 수직 관계는 두 직선의 기울기 사이에 특별한 관계를 만들어냅니다. 만약 한 직선의 기울기를 알면, 그 직선에 수직인 다른 직선의 기울기도 바로 알 수 있게 된답니다!

개념정리 114-2: 피타고라스 정리와 평행이동 활용!

두 직선 y = mx + n과 y = m’x + n’이 서로 수직일 조건을 알아보기 위해, 계산의 편의상 이 두 직선을 각각 평행이동하여 원점을 지나도록 만들어요. 그래도 두 직선의 기울기는 변하지 않으므로 수직 관계도 그대로 유지됩니다.
평행이동한 두 직선은 y = mx와 y = m’x가 되겠죠.

이제 직선 x=1을 그어서 두 직선 y=mx, y=m’x와의 교점을 각각 P, Q라고 합시다.

• 점 P의 좌표: x=1을 y=mx에 대입하면 y=m. 따라서 P(1, m).
• 점 Q의 좌표: x=1을 y=m’x에 대입하면 y=m’. 따라서 Q(1, m’).

두 직선 y=mx와 y=m’x가 원점 O에서 서로 수직으로 만난다면, 삼각형 POQ는 ∠POQ = 90°인 직각삼각형이 됩니다.
따라서 피타고라스 정리에 의해 PQ² = OP² + OQ²이 성립해야 해요.

각 선분의 길이의 제곱을 계산하면:

• PQ² = (1-1)² + (m’ – m)² = (m – m’)²
• OP² = (1-0)² + (m-0)² = 1² + m² = 1 + m²
• OQ² = (1-0)² + (m’-0)² = 1² + m’² = 1 + m’²

피타고라스 정리에 대입하면:

(m – m’)² = (1 + m²) + (1 + m’²)

m² – 2mm’ + m’² = 1 + m² + 1 + m’²

m² – 2mm’ + m’² = m² + m’² + 2

양변에서 m²과 m’²을 소거하면:

-2mm’ = 2

따라서, mm’ = -1 이라는 중요한 관계식을 얻습니다!

거꾸로, mm’ = -1이면 피타고라스 정리가 성립하여 ▵POQ는 직각삼각형이 되므로 두 직선은 서로 수직입니다.