쎈 공통수학1 0051번 문제 풀이 가이드

복잡해 보이는 긴 다항식의 곱셈에서 일일이 전개하지 않고 규칙성을 찾아 특정 항의 계수만을 빠르게 찾아내는 방법을 묻는 문제입니다. 이 문제는 식의 구조를 이해하는 것이 핵심입니다.

1. 문제 풀이 시 알아야 할 내용 정리

이 문제는 n개의 괄호가 곱해져 있을 때, 전개식의 각 항이 어떻게 만들어지는지 원리를 이해해야 합니다.

• 항의 생성 원리: n개의 괄호가 곱해져 있을 때, 전개식의 각 항은 각 괄호에서 문자 x 또는 상수항 중 하나씩을 선택하여 곱한 결과들의 합으로 이루어집니다.
• 차수의 결정: n개의 괄호 중 k개의 괄호에서 x를 선택하고, 나머지 (n–k)개의 괄호에서 상수를 선택하여 곱하면 x^k항이 만들어집니다.

2. 핵심 공식

이 문제에서는 x⁹의 계수를 구하기 위해 1부터 10까지의 자연수의 합이 필요합니다. 등차수열의 합 공식을 활용하면 계산 실수를 줄일 수 있습니다.

3. 힌트 (Think Process)

문제를 보자마자 당황하지 말고 아래 순서대로 생각해보세요.

• Step 1: 총 10개의 일차식 (x+1)부터 (x+10)까지가 곱해져 있습니다.
• Step 2: 전체 식을 전개하면 최고차항은 x¹⁰이 될 것입니다. 그렇다면 그 바로 아래 차수인 x⁹항은 어떻게 만들어질까요?
• Step 3: 총 10개의 괄호 중에서 9개의 괄호에서는 x를 뽑고, 나머지 딱 1개의 괄호에서만 숫자(상수)를 뽑아서 곱해야 합니다.
• Step 4: 1번 괄호에서 상수를 뽑는 경우, 2번 괄호에서 상수를 뽑는 경우… 이렇게 모든 경우를 더하면 계수가 됩니다.

4. 실수 줄이는 법

• 부호 주의: 이 문제는 모든 상수가 양수(+1, +2…)라서 괜찮지만, 만약 (x-1)(x-2)…와 같이 음수가 섞여 있다면 상수를 선택할 때 부호까지 같이 가져와야 함을 잊지 마세요.
• 단순 계산 실수: 1부터 10까지 더할 때 암산보다는 공식을 사용하거나, 양 끝의 합(1+10, 2+9…)을 이용해 검산하는 습관을 들이세요. 결과값 55는 자주 나오니 외워두면 좋습니다.
• 문제 조건 확인: 문제에서 묻는 것이 x⁹의 계수인지, x⁸의 계수인지 정확히 확인해야 합니다. (x⁸의 경우 두 개의 상수를 뽑는 조합이라 훨씬 복잡해집니다.)

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