[심층분석] 원의 성질과 거듭제곱근의 융합 문제 (0109번)
작성자: 20년 경력 입시 수학 전문가
이 문제는 기하학적 통찰력과 대수적 계산 능력을 동시에 요구합니다. 지름, 원주각, 이등분선의 성질을 거듭제곱근이라는 도구로 어떻게 풀어내는지 확인해 보십시오.
1. 필수 개념 정리
- 지름의 원주각: 지름 \(AB\)에 대한 원주각 \(\angle AQB = 90^\circ\)
- 각의 이등분선: \(AP=BP\)이므로 \(PQ\)는 \(\angle AQB\)의 이등분선
- 내각의 이등분선 정리: \(AQ : BQ = AR : BR\)
2. 단계별 풀이 (Step-by-Step)
Step 1. 비례 관계 파악
중등 기하 원리에 따라 \(AQ : BQ = AR : BR\)이 성립합니다.
\(AQ : BQ = 4\sqrt[3]{3} : 3\sqrt[3]{3} = 4 : 3\)
Step 2. 미지수 설정 및 피타고라스 정리
\(AQ = 4k, BQ = 3k\)라 하면, 직각삼각형 \(\triangle AQB\)에서:
\(AB = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = 5k\)
Step 3. 실제 길이와 연결하여 \(k\) 구하기
실제 지름 \(AB = 4\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} = 7\sqrt[3]{3}\)이므로,
\(5k = 7\sqrt[3]{3} \implies k = \frac{7}{5}\sqrt[3]{3}\)
Step 4. 최종 값 계산
구하는 값 \(\frac{5}{7}BQ = \frac{5}{7} \cdot 3k = \frac{5}{7} \cdot 3 \cdot \frac{7}{5}\sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}\)
이를 거듭제곱근 형태로 바꾸면: \(\sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^4}\)
최종 결과: \(m=4, n=3\) 이므로 \(m+n=7\) 입니다.
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