[쎈 대수] 0105번 완벽 해설: 음악 속의 수학, 소리의 진동수 정복하기! (영상 포함)

소리의 진동수는 반음 높아질 때마다 일정한 비율로 증가한다. 다음을 이용하여 ‘도’음보다 반음 4개만큼 높은 ‘미’음의 진동수는 ‘도’음의 진동수의 몇 배인지 구하시오.

• ✅ 일정한 비율: 반음 높아질 때의 비율을 \(x\)라 하면, \(n\)번 높아지면 \(x^n\)배가 됩니다.
• ✅ 옥타브 조건: 12개의 반음이 모여 한 옥타브(2배)가 되므로 \(x^{12} = 2\)입니다.

📸 이미지로 보는 단계별 상세 풀이

[단계별 풀이 가이드]

1. 1단계: 비율 \(x\) 설정. \(x^{12} = 2\) 이므로 \(x = \sqrt[12]{2}\)
2. 2단계: 반음 4개 높은 ‘미’음은 \(x^4\)배.
3. 3단계: \(x^4 = (\sqrt[12]{2})^4 = 2^{\frac{4}{12}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}\)

정답: \(\sqrt[3]{2}\)배

🚀 1등급 꿀팁 & 실수 포인트

[실수 포인트]: ’12번 더해서 2가 되는 것’이 아니라 ’12번 곱해서 2가 되는 것’입니다. 등차수열이 아닌 등비수열(지수)의 개념임을 명심하세요!

[쌤의 꿀팁]: 지수를 분수 형태로 바꾸면 약분이 훨씬 편해집니다. \(\sqrt[12]{2^4}\)를 \(2^{\frac{4}{12}}\)로 바로 바꿔서 계산하는 연습을 하세요.