[풀이영상추천] 쎈 대수 0104번 | 방사성 물질 붕괴, 지수 법칙으로 10초 만에 푸는 법!

일정한 비율로 붕괴되는 어떤 방사성 물질의 처음의 양을 \(m_0\), \(t\)년 후의 양을 \(m_t\)라 하면
\(m_t = m_0 \cdot a^{-t} (a > 0)\)
이 성립한다고 한다. 3년 후 이 물질의 양이 처음 양의 \(\frac{1}{2}\)이 된다고 하면, 12년 후 이 물질의 양은 \(km_0\)이다. 이때 실수 \(k\)의 값을 구하시오.

이 문제의 핵심은 “밑 \(a\)를 구하려 하지 말고 지수 덩어리 자체를 활용하는 것”입니다.

• ✅ 지수 법칙 (거듭제곱의 거듭제곱): \((a^m)^n = a^{mn}\) 성질을 이용해 시간 관계를 표현합니다.
• ✅ 식의 대입: 주어진 조건을 관계식에 대입하여 특정 지수 함숫값을 찾아냅니다.
• ✅ 실생활 모델 해석: \(m_t\)가 \(m_0\)의 몇 배인지를 통해 \(k\)를 결정합니다.

📸 이미지로 보는 단계별 상세 풀이

(여기에 쎈 대수 0104번 해설 이미지를 업로드해 주세요)

[단계별 풀이 가이드]

1. 1단계: 3년 후의 조건 대입하기
   \(t=3\)일 때 \(m_3 = \frac{1}{2}m_0\) 이므로 관계식에 대입하면,
   \(m_0 \cdot a^{-3} = \frac{1}{2}m_0\)   ∴ \(a^{-3} = \frac{1}{2}\) 임을 알 수 있습니다.
2. 2단계: 12년 후의 식 세우기
   우리가 구해야 할 것은 \(t=12\)일 때의 양인 \(m_{12}\)입니다.
   \(m_{12} = m_0 \cdot a^{-12}\)
3. 3단계: 지수 법칙으로 식 변형 및 계산
   \(a^{-12} = (a^{-3})^4\) 임을 이용합니다.
   \(m_{12} = m_0 \cdot (a^{-3})^4 = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4\)
   \(m_{12} = \frac{1}{16}m_0\)
4. 4단계: 최종 정답 도출
   \(m_{12} = km_0\) 이므로 \(k = \frac{1}{16}\) 입니다.

정답: \(\frac{1}{16}\)

🚀 1등급 꿀팁 & 실수 포인트

[실수 포인트]

간혹 \(a\)의 값을 억지로 구하려고 로그를 쓰거나 복잡한 거듭제곱근 계산을 시도하는 학생들이 있습니다. 실생활 응용 문제는 대부분 지수의 배수 관계를 이용하므로, 구체적인 상수 값보다는 ‘덩어리’를 찾는 데 집중하세요!

[쌤의 꿀팁]

시간이 3년에서 12년으로 4배가 되었다면, 지수 법칙에 의해 변화 비율은 4제곱이 됩니다. \(\frac{1}{2}\)의 4제곱은 \(\frac{1}{16}\)! 이 원리를 이해하면 검산이 1초 만에 끝납니다.