[풀이 영상] 지수 법칙 고난도 정복! 쎈 대수 0103번 상세 풀이 가이드

실수 \(x, y, z\)에 대하여 \(2^x=3^{-y}, 9^y=6^z\)일 때, \(\frac{1}{x} – \frac{1}{y}\)을 \(z\)를 이용하여 나타내면? (단, \(xyz \neq 0\))

① \(-\frac{2}{z}\)    ② \(\frac{1}{z}\)    ③ \(\frac{2}{z}\)    ④ \(-\frac{z}{2}\)    ⑤ \({\frac{z}{2}}\)

이 문제의 핵심은 서로 다른 밑을 가진 지수들을 하나의 매개변수 \(k\)로 통일하는 것입니다.

• ✅ k로 놓기 비법: \(A^x = B^y = k\) ()
• ✅ 지수의 역수 변형: \(A^x = k \implies A = k^{\frac{1}{x}}\) ()
• ✅ 밑의 관계 파악: \(2 \times 3 = 6\)임을 이용하여 지수끼리의 합/차 관계 유도

📸 이미지로 보는 단계별 상세 풀이

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[단계별 풀이 가이드]

1. 1단계: k 설정 및 변형
   \(2^x = 3^{-y} = k\) (\(k > 0, k \neq 1\))로 놓으면 \(2 = k^{\frac{1}{x}}\), \(3 = k^{-\frac{1}{y}}\)입니다. ()
2. 2단계: 밑의 곱셈 활용
   \(2 \times 3 = 6\)이므로 \(k^{\frac{1}{x}} \times k^{-\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{x} – \frac{1}{y}} = 6\) ··· ㉠ ()
3. 3단계: \(z\)와 \(k\)의 관계 유도
   \(9^y = (3^{-y})^{-2} = k^{-2}\)이므로, \(6^z = 9^y = k^{-2}\)에서 \(6 = k^{-\frac{2}{z}}\) ··· ㉡ ()
4. 4단계: 최종 결합
   ㉠과 ㉡에 의해 \(k^{\frac{1}{x} – \frac{1}{y}} = k^{-\frac{2}{z}}\)이므로
   따라서 \(\frac{1}{x} – \frac{1}{y} = -\frac{2}{z}\)입니다. ()

정답: ① \(-\frac{2}{z}\)

🚀 1등급 꿀팁 & 실수 포인트

[실수 포인트]

\(3^{-y}\)에서 마이너스 부호를 놓치는 경우가 많아요! \(3\)을 구할 때 \(k^{-\frac{1}{y}}\)이 된다는 점을 확실히 체크하세요.

[쌤의 꿀팁]

밑이 2, 3이고 결과가 6인 것을 보고 “밑끼리 곱하면 지수끼리는 더해진다”는 연결 고리를 빠르게 찾는 것이 핵심입니다! 지수 형태의 분수 \(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}\)가 보이면 일단 \(=k\)로 두는 습관을 들이세요.