[영상 있음] 쎈 대수 0098번 | 지수 법칙 ‘상’ 난이도 정복하는 밑 통일 비법!

실수 \(x, y, z\)에 대하여 \(160^x=2, 10^y=4, a^z=\frac{1}{4}\)이고
\(\frac{1}{x} – \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 2\)일 때, 양수 \(a\)의 값을 구하시오.

이 문제의 핵심은 “지수의 형태를 주어진 관계식 모양으로 바꾸는 것”입니다.

• ✅ 지수의 변형: \(A^x = B\)이면 \(A = B^{\frac{1}{x}}\)임을 이용합니다.
• ✅ 밑 통일하기: 주어진 상수들(2, 4, 1/4)이 모두 2의 거듭제곱임을 파악하고 밑을 2로 통일합니다.
• ✅ 지수 법칙: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\), \(a^m \times a^p = a^{m+p}\)를 활용해 관계식을 유도합니다.

📸 이미지로 보는 단계별 상세 풀이

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[단계별 풀이 가이드]

1. 1단계: 밑을 2로 통일하여 지수식 변형
   \(160^x = 2 \implies 2^{\frac{1}{x}} = 160\) ··· ㉠
   \(10^y = 4 = 2^2 \implies 2^{\frac{2}{y}} = 10\) ··· ㉡
   \(a^z = \frac{1}{4} = 2^{-2} \implies 2^{-\frac{2}{z}} = a \implies 2^{\frac{1}{z}} = a^{-\frac{1}{2}}\) ··· ㉢
2. 2단계: 주어진 조건식 \(\frac{1}{x} – \frac{2}{y} + \frac{1}{z}\) 만들기
   ㉠ ÷ ㉡ × ㉢을 수행하면 지수 법칙에 의해 다음과 같이 정리됩니다.
   \(2^{\frac{1}{x} – \frac{2}{y} + \frac{1}{z}} = 160 \div 10 \times a^{-\frac{1}{2}}\)
3. 3단계: 최종값 도출
   지수 부분이 2라고 주어졌으므로 \(2^2 = \frac{16}{\sqrt{a}}\) 입니다.
   \(4 = \frac{16}{\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = 4\)
   따라서 \(a = 16\)입니다.

정답: 16

🚀 1등급 꿀팁 & 실수 포인트

[실수 포인트]

\(a^z = \frac{1}{4}\) 부분에서 지수를 넘길 때 부호를 잘못 처리하는 경우가 많습니다. 밑을 2로 통일했을 때 \(2^{-2}\)임을 정확히 확인하고 \(\frac{1}{z}\) 모양을 차근차근 만들어야 합니다.

[쌤의 꿀팁]

이런 유형은 무조건 밑을 통일하는 것이 90%입니다. 주어진 조건식의 \(\frac{1}{x}, \frac{2}{y}, \frac{1}{z}\) 계수가 지수 변형 후의 지수 부분과 정확히 일치하도록 설계되어 있으니, 퍼즐 맞추듯 식을 변형해 보세요!