[쎈 대수] 0089번 완벽 해설: 복잡한 지수 식, ‘약분’과 ‘변형’으로 정복하기! (영상 포함)
안녕하세요! 여러분의 수학적 갈증을 시원하게 해결해 드리는 1타 강사 쌤입니다. 쎈 대수의 지수 단원 중에서도 0089번처럼 분수 형태가 복잡하게 얽힌 ‘상’ 난이도 문제는 많은 학생이 시작도 하기 전에 겁을 먹곤 하죠.
하지만 원리만 알면 정말 간단합니다! 저는 학생들을 직접 가르치며 가장 효과적이었던 ‘최적의 풀이’만을 엄선해서 올리고 있으며, 더 효율적인 방법이 있다면 계속해서 내용을 업데이트할 예정입니다. 글로 이해가 부족한 부분은 본문 하단의 해설 영상을 시청해 주세요!
\(x > 0\)이고 \(\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} = 2\)일 때,
\(\frac{x^3 + x^2}{x + 1} – \frac{x^{-3} + x^{-2}}{x^{-1} + 1}\)의 값은?
① 8 ② 16 ③ \(12\sqrt{2}\) ④ 20 ⑤ \(24\sqrt{2}\)
💡 핵심 분석 & 필수 공식
이 문제의 핵심은 “무작정 대입하지 말고 식을 최대한 단순화하는 것”입니다.
- ✅ 인수분해와 약분: 분자에서 공통인수를 묶어 분모와 약분되는 형태를 찾습니다.
- ✅ 지수 법칙과 거듭제곱: 양변을 제곱하여 원하는 합의 형태를 도출합니다.
- ✅ 곱셈 공식의 변형: \((a-b)^2 = (a+b)^2 – 4ab\)의 관계를 활용합니다.
📸 이미지로 보는 단계별 상세 풀이
(여기에 쎈 대수 0089번 해설 이미지를 업로드해 주세요)
[단계별 풀이 가이드]
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1단계: 구하려는 식 약분하기
\(\frac{x^2(x+1)}{x+1} – \frac{x^{-2}(x^{-1}+1)}{x^{-1}+1} = x^2 – x^{-2}\) 이므로
우리가 구해야 할 최종 식은 \((x + x^{-1})(x – x^{-1})\) 입니다. -
2단계: 주어진 조건 활용하여 \(x + x^{-1}\) 구하기
\(\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} = 2\)의 양변을 제곱하면
\(x – 2 + \frac{1}{x} = 4\) ∴ \(x + x^{-1} = 6\) 을 얻습니다. -
3단계: \(x – x^{-1}\) 구하기
\((x – x^{-1})^2 = (x + x^{-1})^2 – 4 = 6^2 – 4 = 32\) 입니다.
이때 \(x > 1\)이므로 \(x – x^{-1} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) 입니다. -
4단계: 최종 계산
\(6 \times 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}\) 가 최종 정답입니다.
정답: ⑤ \(24\sqrt{2}\)
🚀 1등급 꿀팁 & 실수 포인트
[실수 포인트]
제곱근을 벗길 때 부호를 조심하세요! \(x – x^{-1}\)의 값이 \(\pm 4\sqrt{2}\) 중 무엇인지 결정할 때, 주어진 조건 \(\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} = 2\)를 통해 \(x > 1\)임을 파악하는 과정이 반드시 필요합니다.
[쌤의 꿀팁]
분수 식에서 지수의 부호가 음수일 때 당황하지 마세요. \(x^{-n}\)은 분모에 \(x^n\)이 있는 것과 같습니다. 공통인수로 묶을 때는 ‘지수가 작은 쪽’으로 묶어주면 약분되는 항이 아주 예쁘게 보인답니다!
상 난이도 문제라고 해서 대단한 공식이 필요한 게 아닙니다. 중학교 때 배운 인수분해와 고1 때 배운 곱셈 공식 변형을 지수 단원에서 어떻게 ‘연결’하느냐가 핵심이죠.
풀이 과정 중 한 줄이라도 막히는 부분이 있다면? 아래 해설 영상을 꼭 시청하세요. 영상으로 보면 훨씬 쉽게 느껴질 겁니다!
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