개념정리 111-1: 두 점을 알려주는 절편!

직선의 x절편은 직선이 x축과 만나는 점의 x좌표를 의미하고, 그 점의 좌표는 (x절편, 0)이죠. 마찬가지로 직선의 y절편은 직선이 y축과 만나는 점의 y좌표를 의미하며, 그 점의 좌표는 (0, y절편)이에요.

따라서 x절편이 a이고 y절편이 b라는 정보가 주어지면, 이것은 사실 그 직선이 두 점 (a, 0)과 (0, b)를 지난다는 것을 알려주는 것과 같아요!

이렇게 두 점의 좌표를 알게 되면, 우리는 이전 시간에 배운 ‘두 점을 지나는 직선의 방정식’을 구하는 방법을 사용할 수 있겠죠? 이 특별한 두 점을 이용하여 공식을 유도하면 아주 깔끔한 형태가 나온답니다.

개념정리 111-2: 두 점을 지나는 직선 공식 활용!

x절편이 a (a \neq 0)이고 y절편이 b (b \neq 0)인 직선은 두 점 (a, 0)과 (0, b)를 지나는 직선이에요.

두 점 (x₁, y₁) = (a, 0)과 (x₂, y₂) = (0, b)를 지나는 직선의 방정식을 세워봅시다. (두 점의 x좌표가 다르므로 a \ne 0일 때)

먼저 기울기 m = ^{(b – 0)}⁄_{(0 – a)} = ^b⁄_-a = –^b⁄_a 입니다.

이제 한 점 (예: (0, b) – y절편)과 기울기를 이용하여 직선의 방정식을 세우면 (표준형 y=mx+n에서 n=b):

y = (-^b⁄_a)x + b

이 식을 ^x⁄_a + ^y⁄_b = 1 형태로 변형해 볼게요.

양변을 b로 나누면 (b \neq 0이므로 가능):

^y⁄_b = (-^b⁄_a)^x⁄_b + ^b⁄_b

^y⁄_b = –^x⁄_a + 1

–^x⁄_a을 좌변으로 이항하면:

^x⁄_a + ^y⁄_b = 1

정말 깔끔한 공식이 나왔죠? x절편 a와 y절편 b를 알면 이 공식에 바로 대입하여 직선의 방정식을 구할 수 있습니다.