실수 x, y에 대하여 a < x < b 이고 c < y < d 일 때 (등호가 포함된 부등식도 유사하게 적용 가능), 각 사칙계산 결과의 범위는 다음과 같아요.

• 1. 덧셈 (x+y):
  a+c < x+y < b+d (작은 것끼리 더한 것 < 결과 < 큰 것끼리 더한 것)
• 2. 뺄셈 (x-y):
  a-d < x-y < b-c (작은 것에서 큰 것을 뺀 것 < 결과 < 큰 것에서 작은 것을 뺀 것. 빼는 수의 부등호 방향이 바뀐다고 생각!)

주의! 아래 곱셈과 나눗셈의 간단한 규칙은 a,b,c,d가 모두 양수일 때 주로 적용됩니다.

• 3. 곱셈 (xy) (단, 0 < a < x < b, 0 < c < y < d 일 때):
  ac < xy < bd (작은 것끼리 곱한 것 < 결과 < 큰 것끼리 곱한 것)
• 4. 나눗셈 (x/y) (단, 0 < a < x < b, 0 < c < y < d 일 때):
  ^a⁄_d < ^x⁄_y < ^b⁄_c (작은 것을 큰 것으로 나눈 것 < 결과 < 큰 것을 작은 것으로 나눈 것. 나누는 수의 부등호 방향이 바뀐다고 생각!)

덧셈과 뺄셈 규칙은 x, y의 범위에 음수가 포함되어도 일반적으로 성립하지만, 곱셈과 나눗셈은 범위에 음수가 포함되면 가능한 모든 조합을 고려해야 해서 더 복잡해질 수 있어요.

개념정리 84-1: 어떻게 계산할까?

x의 값의 범위가 a \le x \le b이고, y의 값의 범위가 c \le y \le d와 같이 주어졌을 때, x+y, x-y, xy, x/y와 같은 식의 값의 범위는 각 범위의 양 끝값(경계값)들을 이용하여 구할 수 있어요.

1. 덧셈: x+y의 범위

가장 작은 값은 a+c, 가장 큰 값은 b+d가 됩니다.

  a ≤ x ≤ b
+) c ≤ y ≤ d
-----------------
a+c ≤ x+y ≤ b+d
                

2. 뺄셈: x-y의 범위

x-y = x + (-y)로 생각할 수 있어요. 먼저 -y의 범위를 구합니다.
c \le y \le d의 각 변에 -1을 곱하면 (부등호 방향 반대!) -d \le -y \le -c가 됩니다.
이제 x와 -y의 범위를 더해주면 됩니다.

   a  ≤  x  ≤  b
+) -d ≤ -y ≤ -c
--------------------
a-d ≤ x-y ≤ b-c
                

즉, (x의 최솟값 – y의 최댓값) ≤ x-y ≤ (x의 최댓값 – y의 최솟값) 이 됩니다.

개념정리 84-2: 부호에 따라 달라지는 계산!

1. 모든 값이 양수일 때의 곱셈: xy (0 < a \le x \le b, 0 < c \le y \le d)

모든 경계값이 양수일 때는 간단해요. 가장 작은 값은 ac, 가장 큰 값은 bd가 됩니다.

  a ≤ x ≤ b
×) c ≤ y ≤ d
-----------------
 ac ≤ xy ≤ bd  (단, a,b,c,d > 0)
                

2. 모든 값이 양수일 때의 나눗셈: x/y (0 < a \le x \le b, 0 < c \le y \le d)

x/y = x \times (1/y)로 생각할 수 있어요. 먼저 1/y의 범위를 구합니다.
c \le y \le d (모두 양수)이면, 각 변의 역수를 취하면 부등호 방향이 반대가 되어 1/d \le 1/y \le 1/c가 됩니다.
이제 x와 1/y의 범위를 곱해주면 (모두 양수이므로):

    a   ≤  x  ≤   b
×) 1/d ≤ 1/y ≤ 1/c
-----------------------
  a/d ≤ x/y ≤ b/c   (단, a,b,c,d > 0)
                

즉, (x의 최솟값 / y의 최댓값) ≤ x/y ≤ (x의 최댓값 / y의 최솟값) 이 됩니다.