실수 a, b, c에 대하여 다음과 같은 부등식의 기본 성질들이 성립해요.

• 1. 삼단논법과 유사: a > b 이고 b > c 이면 ⇒ a > c
• 2. 덧셈/뺄셈: a > b 이면
      a + c > b + c (같은 수를 더해도 부등호 방향 불변)
      a – c > b – c (같은 수를 빼도 부등호 방향 불변)
• 3. 양수 곱셈/나눗셈: a > b 이고 c > 0 (양수) 이면
      ac > bc (양수를 곱해도 부등호 방향 불변)
      ^a⁄_c > ^b⁄_c (양수로 나누어도 부등호 방향 불변)
• 4. 음수 곱셈/나눗셈 (주의!): a > b 이고 c < 0 (음수) 이면
      ac < bc (음수를 곱하면 부등호 방향 반대!)
      ^a⁄_c < ^b⁄_c (음수로 나누면 부등호 방향 반대!)
• 5. 같은 부호의 두 수: a, b가 같은 부호이면 (ab > 0)
      ab > 0, ^a⁄_b > 0, ^b⁄_a > 0
• 6. 다른 부호의 두 수: a, b가 다른 부호이면 (ab < 0)
      ab < 0, ^a⁄_b < 0, ^b⁄_a < 0

이 성질들은 부등호가 \ge, <, \le 인 경우에도 유사하게 성립해요.

개념정리 83-1: 대소 관계를 나타내는 식

부등식은 부등호 < (작다), > (크다), \le (작거나 같다), \ge (크거나 같다)를 사용하여 두 수 또는 두 식의 값의 크기를 비교하여 나타낸 식이에요.

예를 들어, x < 1, x+y > 3, x² – 2x + 1 \le 0 등이 모두 부등식입니다.

미지수를 포함한 부등식에서, 그 부등식을 참이 되게 하는 미지수의 값 또는 값의 범위를 그 부등식의 해라고 하며, 해를 모두 구하는 것을 “부등식을 푼다”라고 합니다.

개념정리 83-2: 사칙연산과 부등호의 방향

실수 a, b, c에 대하여 다음과 같은 기본 성질들이 성립해요. 등식의 성질과 비슷하지만, 곱셈과 나눗셈에서 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향이 바뀐다는 점이 가장 큰 차이점이자 핵심이에요!

1. 대소 관계의 전달 (삼단논법과 유사)

만약 a > b 이고 동시에 b > c 이면, 당연히 a > c 입니다.

2. 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로!

만약 a > b 이면,

• a + c > b + c
• a – c > b – c

(예: 5 > 3 이면, 5+2 > 3+2 ⇒ 7 > 5. 5-2 > 3-2 ⇒ 3 > 1)

3. 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호 방향은 그대로!

만약 a > b 이고 c > 0 (양수) 이면,

• ac > bc
• ^a⁄_c > ^b⁄_c

(예: 6 > 4 이고 c=2(양수)이면, 6 \times 2 > 4 \times 2 ⇒ 12 > 8. 6 \div 2 > 4 \div 2 ⇒ 3 > 2)

4. 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향은 반대로! (매우 중요! 🚨)

만약 a > b 이고 c < 0 (음수) 이면,

• ac < bc (부등호 방향 반대!)
• ^a⁄_c < ^b⁄_c (부등호 방향 반대!)

(예: 6 > 4 이고 c=-2(음수)이면, 6 \times (-2) < 4 \times (-2) ⇒ -12 < -8. 6 \div (-2) < 4 \div (-2) ⇒ -3 < -2)

5. 수의 부호와 곱/몫의 부호

• a, b가 같은 부호이면: ab > 0, ^a⁄_b > 0
• a, b가 다른 부호이면: ab < 0, ^a⁄_b < 0

이 기본 성질들은 부등식을 풀거나 변형할 때 항상 염두에 두어야 하는 중요한 규칙들이에요.