두 이차방정식으로 이루어진 연립방정식 { ^{(이차식)₁ = 0}_{(이차식)2 = 0} 에서 어느 한쪽도 쉽게 두 일차식의 곱으로 인수분해되지 않을 때는 다음 두 가지 방법을 시도해 볼 수 있어요.

1. 이차항 소거하기:
   • 두 이차방정식을 적절히 더하거나 빼서 모든 이차항(x², y², xy 등)을 소거하여 일차방정식을 얻어내요.
   • 이렇게 얻은 일차방정식을 원래의 두 이차방정식 중 계산이 더 간단해 보이는 식과 연립하여 풀어요 (일차식과 이차식의 연립 형태로 바뀜).
2. 상수항 소거하기:
   • 두 이차방정식의 상수항을 소거하여 새로운 이차방정식(A=0)을 만들어요.
   • 새로 얻은 이차방정식 A=0의 좌변 A가 두 일차식의 곱으로 인수분해되는 경우가 많아요 (P \cdot Q = 0).
   • P=0 또는 Q=0이라는 두 개의 일차방정식을 얻어, 각각을 원래의 두 이차방정식 중 하나와 연립하여 풀어요.

목표는 어떻게든 일차방정식을 만들어내는 것이랍니다!

개념정리 76-1: 새로운 전략이 필요해!

우리가 지난 시간에 배운 (이차식)=0과 (이차식)=0 꼴의 연립이차방정식 풀이법은, 두 이차식 중 적어도 하나가 두 일차식의 곱으로 인수분해될 수 있다는 것을 전제로 했어요. 그래야 (일차식)=0 또는 (다른 일차식)=0이라는 조건을 얻어, 각각을 다른 이차방정식에 대입하여 풀 수 있었죠.

하지만 현실은 항상 그렇게 친절하지만은 않아요! 때로는 두 이차방정식 모두 한눈에 인수분해되지 않는 경우가 있답니다. 이럴 때 당황하지 않고 사용할 수 있는 두 가지 특별한 기술이 바로 이차항 소거와 상수항 소거예요.

이 두 방법의 최종 목표는 결국 우리가 풀 수 있는 형태, 즉 (일차식)=0과 (이차식)=0 꼴의 연립방정식으로 바꾸는 것이랍니다.

개념정리 76-2: 이차항을 없애서 간단하게!

두 이차방정식으로 이루어진 연립방정식에서, 두 식을 적절히 더하거나 빼거나, 또는 각 식에 상수를 곱한 후 더하거나 빼서 모든 이차항(x², y², xy 등)을 동시에 소거할 수 있다면, 그 결과로 일차방정식을 얻을 수 있어요.

이렇게 얻은 일차방정식과 원래의 두 이차방정식 중 하나(보통 더 간단해 보이는 식)를 연립하면, 우리가 이미 풀 수 있는 (일차식)=0과 (이차식)=0 꼴의 연립방정식이 된답니다!

개념정리 76-3: 상수항을 없애 A \cdot B = 0 꼴 유도!

두 이차방정식으로 이루어진 연립방정식에서 이차항을 소거하기 어렵거나, 소거해도 간단한 일차식이 나오지 않을 때 사용하는 방법이에요. 두 식의 상수항을 소거하면, (새로운 이차식) = 0 꼴을 얻게 되는데, 이때 이 새로운 이차식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되는 경우가 많아요!

[풀이 단계]

1. 두 이차방정식의 상수항이 0이 되도록 적절한 수를 곱한 후 더하거나 빼서 상수항을 소거해요. 그러면 Ax² + Bxy + Cy² = 0과 같은 형태의 새로운 이차방정식을 얻게 됩니다.
2. 새로 얻은 이차방정식의 좌변을 두 일차식의 곱으로 인수분해해요. (예: P \cdot Q = 0)
3. P=0 또는 Q=0이라는 두 개의 일차방정식을 얻어, 각각을 원래의 두 이차방정식 중 하나(계산이 간단하거나 상수항이 0이 아닌 식)와 연립하여 풀어요.