068 삼차방정식의 근과 계수의 관계: 세 근의 합, 곱, 둘씩 곱한 합의 비밀! 🎲
안녕하세요, 방정식의 비밀을 캐는 수학 탐정 친구들! 👋 이차방정식에서 두 근의 합과 곱을 계수만으로 알아낼 수 있었던 ‘근과 계수의 관계’ 기억나죠? 오늘은 그보다 한 단계 더 나아가, 삼차방정식의 세 근과 계수 사이에는 어떤 신비한 관계가 숨어있는지 알아볼 거예요! 이차방정식과 비슷하면서도 조금 더 확장된 규칙이랍니다. 이 관계를 알면 삼차방정식의 근을 직접 구하지 않고도 세 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 그리고 세 근의 곱까지 모두 계수만으로 쏙쏙 뽑아낼 수 있어요! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 🔍
📝 핵심만정리: 삼차방정식 근과 계수의 세 가지 약속!
삼차방정식 ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)의 세 근을 α (알파), β (베타), γ (감마) 라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립해요.
- 1. 세 근의 합: α + β + γ = –b⁄a
- 2. 두 근끼리의 곱의 합: αβ + βγ + γα = c⁄a
- 3. 세 근의 곱: αβγ = –d⁄a
부호가 (-, +, -) 순서로 바뀐다는 점과 분모는 모두 최고차항의 계수 a라는 점을 기억하면 쉽게 외울 수 있어요! 이 관계는 세 근이 실근이든 허근이든 관계없이 항상 성립한답니다.
이차방정식 복습! 이차방정식 ax2+bx+c=0의 두 근 α, β에 대해 α+\beta = -b/a, αβ = c/a 였죠?
🤔 삼차방정식의 근과 계수의 관계란?
개념정리 68-1: 세 근과 계수들의 숨겨진 연결고리
이차방정식과 마찬가지로, 삼차방정식의 근과 계수의 관계는 삼차방정식의 세 근(α, β, γ)과 방정식의 계수들(a, b, c, d) 사이에 존재하는 특별한 수학적 규칙을 의미해요. 이 관계를 이용하면 삼차방정식의 근을 직접 구하지 않고도, 세 근의 합, 두 근끼리 곱한 것들의 합, 그리고 세 근 전체의 곱을 방정식의 계수들만으로 간단하게 알아낼 수 있답니다.
이것은 삼차방정식의 구조를 더 깊이 이해하고, 다양한 문제 해결에 활용할 수 있는 매우 강력한 도구가 됩니다. 예를 들어, 세 근의 성질에 대한 문제를 풀거나, 곱셈 공식의 변형과 결합하여 복잡한 식의 값을 구할 때 유용하게 사용돼요.
🛠️ 삼차방정식 근과 계수의 관계는 어떻게 유도될까요?
개념정리 68-2: 인수정리와 항등식의 성질 활용!
삼차방정식 ax3 + bx2 + cx + d = 0의 세 근이 α, β, γ라면, 인수정리에 의해 삼차식 ax3 + bx2 + cx + d는 (x-\alpha), (x-\beta), (x-\gamma)를 인수로 가져요.
이때 삼차항의 계수가 a이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
ax3 + bx2 + cx + d = a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
이제 이 등식의 우변을 전개해 봅시다. (곱셈 공식 (x-α)(x-β)(x-γ) = x^3 – (α+β+γ)x^2 + (αβ+βγ+γα)x – αβγ 를 이용)
a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = a[x3 – (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x – αβγ]
= ax3 – a(α + β + γ)x2 + a(αβ + βγ + γα)x – aαβγ
이 식은 x에 대한 항등식이므로, 좌변 ax3 + bx2 + cx + d와 우변의 각 항의 계수가 같아야 해요.
- x2의 계수 비교: b = -a(α + β + γ) ⇒ α + β + γ = –b⁄a
- x의 계수 비교: c = a(αβ + βγ + γα) ⇒ αβ + βγ + γα = c⁄a
- 상수항 비교: d = -aαβγ ⇒ αβγ = –d⁄a
이렇게 세 가지 관계식이 유도됩니다!
암기 팁! 💡
계수 a,b,c,d를 순서대로 사용하여 분자를 만들고, 분모는 항상 a예요. 부호는 (-), (+), (-) 순서로 번갈아 나타난답니다.
🧐 개념확인 문제: 삼차방정식 근과 계수의 관계 활용!
이제 배운 근과 계수의 관계를 이용해서 문제를 풀어봅시다! 근을 직접 구하지 않고도 답을 찾을 수 있어요.
삼차방정식 2x3 – 3x2 + 7x – 1 = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오. (PDF 문제)
- α + β + γ
- αβ + βγ + γα
- αβγ
- 1⁄α + 1⁄β + 1⁄γ
정답 및 해설:
주어진 삼차방정식 2x3 – 3x2 + 7x – 1 = 0에서 계수는 a=2, b=-3, c=7, d=-1 입니다.
-
세 근의 합: α + β + γ = –b⁄a = –(-3)⁄2 = 3⁄2
-
두 근끼리의 곱의 합: αβ + βγ + γα = c⁄a = 7⁄2 = 7⁄2
-
세 근의 곱: αβγ = –d⁄a = –(-1)⁄2 = 1⁄2
-
1⁄α + 1⁄β + 1⁄γ
이 식을 통분하면 = (βγ + αγ + αβ)⁄αβγ 가 됩니다.
위에서 구한 값을 대입하면: = (7⁄2) ÷ (1⁄2) = 7⁄2 × 2⁄1 = 7
삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 이렇게 다양한 식의 값을 효율적으로 구할 수 있답니다! 😉
오늘은 삼차방정식의 세 근과 계수 사이에 성립하는 세 가지 중요한 관계에 대해 배웠습니다. 세 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 그리고 세 근의 곱을 방정식의 계수만으로 간단히 구할 수 있었죠? 이 관계는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 확장한 것으로, 고차방정식의 성질을 이해하고 다양한 문제를 해결하는 데 매우 유용하게 사용됩니다. 오늘 배운 내용을 잘 기억하고 연습해서 자신의 것으로 만드시길 바랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이 근과 계수의 관계를 이용하여 세 수를 근으로 하는 삼차방정식을 직접 만들어보는 방법에 대해 알아보겠습니다! 뚝딱뚝딱 방정식을 만들어봐요! 🛠️