이차함수 y = ax² + bx + c의 최댓값 또는 최솟값은 실수 전체 범위에서 다음과 같이 결정돼요.

1. 먼저, 이차함수의 식을 표준형 y = a(x-p)² + q 꼴로 변형해요. (이때 꼭짓점의 좌표는 (p,q)가 되죠.)
2. a의 부호에 따라 최댓값 또는 최솟값이 결정돼요:
   • a > 0 (아래로 볼록) 일 때:
     → x = p에서 최솟값 q를 가져요.
     → 최댓값은 없어요 (그래프가 위로 한없이 뻗어나가니까요!).
   • a < 0 (위로 볼록) 일 때:
     → x = p에서 최댓값 q를 가져요.
     → 최솟값은 없어요 (그래프가 아래로 한없이 뻗어나가니까요!).

결국, 실수 전체 범위에서 이차함수의 최대 또는 최소는 항상 꼭짓점의 y좌표에서 결정된답니다!

개념정리 61-1: 함수가 가질 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값

함수 y = f(x)에서, 주어진 x의 값의 범위에 대하여 f(x)가 가질 수 있는 값 중에서

• 가장 큰 값을 그 함수의 최댓값(Maximum value)이라고 하고,
• 가장 작은 값을 그 함수의 최솟값(Minimum value)이라고 해요.

이차함수의 경우, 그래프는 포물선 모양이기 때문에 볼록한 방향에 따라 가장 높은 지점(최댓값) 또는 가장 낮은 지점(최솟값)이 존재하게 됩니다. 하지만 x의 범위가 실수 전체일 때는 한쪽 방향으로 한없이 뻗어나가므로, 최댓값과 최솟값 중 하나만 존재하게 된답니다.

개념정리 61-2: y = a(x-p)² + q 꼴 활용

이차함수 y = ax² + bx + c의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 가장 기본적인 방법은 식을 표준형 y = a(x-p)² + q 꼴로 고치는 것이에요. 이 표준형은 꼭짓점의 좌표 (p,q)를 바로 알려주기 때문에 매우 유용하죠!

표준형으로 변형하고 나면, (x-p)² 부분은 x가 실수일 때 항상 0 이상((x-p)² \ge 0)이라는 성질을 이용해요.

1. a > 0 일 때 (아래로 볼록한 포물선)

y = a(x-p)² + q에서 a>0이고 (x-p)² \ge 0이므로, a(x-p)² \ge 0입니다.

따라서 y = a(x-p)² + q \ge q가 됩니다.

즉, y의 값은 항상 q보다 크거나 같으므로, x=p일 때 최솟값 q를 가져요. 최댓값은 한없이 커지므로 없습니다.

2. a < 0 일 때 (위로 볼록한 포물선)

y = a(x-p)² + q에서 a<0이고 (x-p)² \ge 0이므로, a(x-p)² \le 0입니다. (음수에 양수를 곱하면 음수 또는 0)

따라서 y = a(x-p)² + q \le q가 됩니다.

즉, y의 값은 항상 q보다 작거나 같으므로, x=p일 때 최댓값 q를 가져요. 최솟값은 한없이 작아지므로 없습니다.