056 이차함수의 식 결정하기: 주어진 조건으로 함수 찾기!

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056 이차함수의 식 결정하기: 주어진 조건으로 함수 찾기!

056 이차함수의 식 결정하기: 주어진 조건으로 함수 찾기! 🧩

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핵심정리 조건 1: 꼭짓점 주어질 때 조건 2: 축의 방정식 주어질 때 조건 3: x절편 주어질 때 조건 4: 세 점 주어질 때 개념확인

안녕하세요, 수학 퍼즐 해결사 친구들! 👋 지난 시간에는 이차함수 그래프의 특징들을 자세히 살펴보았죠? 오늘은 반대로, 그래프의 특징이나 특정 조건들이 주어졌을 때 그 조건을 만족하는 이차함수의 식을 직접 찾아내는 방법에 대해 알아볼 거예요. 마치 탐정이 여러 단서를 조합해서 범인을 찾는 것처럼, 주어진 조건들을 활용해서 이차함수의 식을 완성해 나가는 과정이랍니다! 어떤 단서가 주어지느냐에 따라 가장 효율적인 풀이 방법이 달라지니, 각 상황별 전략을 잘 익혀두는 것이 중요해요. 함께 이차함수 식 찾기 미션을 시작해 볼까요? 🚀

📝 핵심만정리: 조건별 이차함수 식 세우기 전략!

어떤 조건을 만족시키는 이차함수의 식을 구할 때는, 주어진 조건에 따라 이차함수의 식을 어떤 형태로 놓고 시작하는지가 중요해요.

  • 1. 꼭짓점의 좌표 (p, q)가 주어질 때:
    → 표준형 y = a(x-p)2 + q 로 놓고, 다른 한 점을 대입하여 a의 값을 구해요.
  • 2. 축의 방정식 x = p가 주어질 때:
    → 꼭짓점의 x좌표가 p이므로, 표준형 y = a(x-p)2 + q 로 놓고, 주어진 다른 두 점을 대입하여 a와 q에 대한 연립방정식을 풀어요.
  • 3. x축과의 두 교점 (α, 0), (β, 0)이 주어질 때:
    → 인수분해된 형태 y = a(x-\alpha)(x-\beta) 로 놓고, 다른 한 점을 대입하여 a의 값을 구해요.
  • 4. 그래프 위의 서로 다른 세 점이 주어질 때:
    → 일반형 y = ax2 + bx + c 로 놓고, 세 점의 좌표를 각각 대입하여 a, b, c에 대한 연립방정식을 풀어요. (만약 한 점이 y절편 (0,c)라면 c값을 바로 알 수 있어 편리해요!)

각 조건에 맞는 이차함수 식의 형태를 선택하는 것이 문제 해결의 첫걸음이랍니다!

📍 조건 1: 꼭짓점의 좌표가 주어질 때 (y = a(x-p)2 + q)

개념정리 56-1: 표준형으로 시작!

만약 이차함수의 꼭짓점의 좌표 (p, q)가 주어진다면, 이차함수의 식을 표준형 y = a(x-p)2 + q로 놓고 시작하는 것이 가장 좋아요.

여기서 미지수는 a 하나뿐이므로, 그래프가 지나는 다른 한 점의 좌표를 이 식에 대입하면 a의 값을 구할 수 있답니다.

예시: 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)이고, 점 (1, 2)를 지나는 이차함수의 식을 구하시오. (PDF 문제)

1. 꼭짓점이 (2, 1)이므로, 이차함수의 식을 y = a(x-2)2 + 1로 놓을 수 있어요.

2. 이 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로, x=1, y=2를 식에 대입해요.

2 = a(1-2)2 + 1

2 = a(-1)2 + 1

2 = a(1) + 1 ⇒ 2 = a + 1

따라서 a = 1입니다.

3. 구한 a값을 원래 식에 대입하면, y = 1(x-2)2 + 1, 즉 y = (x-2)2 + 1 입니다.

(전개하면 y = x2 – 4x + 4 + 1 = x2 – 4x + 5)

| 조건 2: 축의 방정식이 주어질 때 (y = a(x-p)2 + q)

개념정리 56-2: 꼭짓점의 x좌표를 안다!

만약 이차함수의 축의 방정식 x = p가 주어진다면, 이것은 꼭짓점의 x좌표가 p라는 것을 의미해요.

따라서 이때도 이차함수의 식을 표준형 y = a(x-p)2 + q로 놓고 시작할 수 있어요. 여기서 미지수는 a와 q 두 개이므로, 그래프가 지나는 서로 다른 두 점의 좌표를 식에 각각 대입하여 a와 q에 대한 연립방정식을 풀어주면 됩니다.

예시: 축의 방정식이 x=1이고, 두 점 (0, 3)과 (3, 0)을 지나는 이차함수의 식을 구해봅시다. (예시 변형)

1. 축의 방정식이 x=1이므로, 꼭짓점의 x좌표는 1이에요. 식을 y = a(x-1)2 + q로 놓습니다.

2. 점 (0, 3)을 대입: 3 = a(0-1)2 + q ⇒ 3 = a + q ··· ①

3. 점 (3, 0)을 대입: 0 = a(3-1)2 + q ⇒ 0 = a(2)2 + q ⇒ 0 = 4a + q ··· ②

4. ①과 ②를 연립하여 a, q를 구합니다.

① – ②: (a+q) – (4a+q) = 3 – 0 ⇒ -3a = 3 ⇒ a = -1.

a=-1을 ①에 대입하면 3 = -1 + q ⇒ q = 4.

5. 따라서 구하는 이차함수의 식은 y = -(x-1)2 + 4 입니다.

(전개하면 y = -(x2-2x+1)+4 = -x2+2x-1+4 = -x2+2x+3)

∩ 조건 3: x절편(x축과의 교점)이 주어질 때 (y = a(x-\alpha)(x-\beta))

개념정리 56-3: 인수분해된 형태로 시작!

만약 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표 α, β (즉, x절편)가 주어진다면, 이차함수의 식을 인수분해된 형태 y = a(x-\alpha)(x-\beta)로 놓고 시작하는 것이 매우 편리해요.

왜냐하면 x=\alpha 또는 x=\beta일 때 y=0이 되어야 하기 때문이죠. 여기서 미지수는 a 하나뿐이므로, 그래프가 지나는 다른 한 점의 좌표를 이 식에 대입하면 a의 값을 구할 수 있습니다.

예시: 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (1, 0)에서 만나고, y절편이 2인 이차함수의 식을 구하시오. (PDF 문제)

(y절편이 2라는 것은 점 (0,2)를 지난다는 뜻이에요!)

1. x축과의 교점이 x=-2, x=1이므로, 이차함수의 식을 y = a(x – (-2))(x – 1) = a(x+2)(x-1)로 놓습니다.

2. 이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로, x=0, y=2를 식에 대입해요.

2 = a(0+2)(0-1)

2 = a(2)(-1) ⇒ 2 = -2a

따라서 a = -1입니다.

3. 구한 a값을 원래 식에 대입하면, y = -(x+2)(x-1) 입니다.

(전개하면 y = -(x2+x-2) = -x2-x+2)

\u2022\u2022\u2022 조건 4: 그래프 위의 서로 다른 세 점이 주어질 때 (y = ax2 + bx + c)

개념정리 56-4: 일반형으로 시작해서 연립방정식!

만약 이차함수 그래프 위의 서로 다른 세 점의 좌표가 주어진다면, 이차함수의 식을 일반형 y = ax2 + bx + c로 놓고 시작하는 것이 일반적이에요.

주어진 세 점의 좌표를 각각 이 식에 대입하면 a, b, c에 대한 세 개의 등식을 얻을 수 있고, 이 세 등식을 연립하여 a, b, c의 값을 구하면 됩니다.

예시: 그래프가 세 점 (0, 3), (-1, 6), (1, 2)를 지나는 이차함수의 식을 구하시오. (PDF 문제)

1. 이차함수의 식을 y = ax2 + bx + c로 놓습니다.

2. 각 점을 대입하여 등식을 만듭니다.

  • 점 (0, 3) 대입: 3 = a(0)2 + b(0) + c ⇒ c = 3. (y절편이 주어지면 c값을 바로 알 수 있어 편리해요!)
  • 점 (-1, 6) 대입 (c=3 적용): 6 = a(-1)2 + b(-1) + 3 ⇒ 6 = a – b + 3 ⇒ a – b = 3 ··· ①
  • 점 (1, 2) 대입 (c=3 적용): 2 = a(1)2 + b(1) + 3 ⇒ 2 = a + b + 3 ⇒ a + b = -1 ··· ②

3. ①과 ②를 연립하여 a, b를 구합니다.

① + ②: (a-b) + (a+b) = 3 + (-1) ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1.

a=1을 ②에 대입하면 1 + b = -1 ⇒ b = -2.

4. 따라서 구하는 이차함수의 식은 a=1, b=-2, c=3이므로 y = x2 – 2x + 3 입니다.

참고: 만약 세 점 중 x절편이 두 개 포함되어 있다면, 조건 3의 y = a(x-\alpha)(x-\beta) 형태를 사용하는 것이 더 편리할 수 있어요!

🧐 개념확인 문제: 조건 보고 식 만들기!

이제 배운 전략들을 활용해서 주어진 조건에 맞는 이차함수의 식을 직접 만들어봅시다!

다음 조건을 만족시키는 이차함수의 식을 구하시오.

  1. 꼭짓점의 좌표가 (-1, 4)이고 점 (1, 0)을 지난다.
  2. x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서 만나고 점 (0, -6)을 지난다.

정답 및 해설:

  1. 꼭짓점이 (-1, 4)이므로 식을 y = a(x – (-1))2 + 4 = a(x+1)2 + 4로 놓습니다.

    점 (1, 0)을 지나므로 대입하면: 0 = a(1+1)2 + 4

    0 = a(2)2 + 4 ⇒ 0 = 4a + 4 ⇒ 4a = -4 ⇒ a = -1.

    따라서 식은 y = -(x+1)2 + 4 (또는 y = -x2 – 2x + 3)

  2. x축과의 교점이 x=-3, x=1이므로 식을 y = a(x – (-3))(x – 1) = a(x+3)(x-1)로 놓습니다.

    점 (0, -6)을 지나므로 대입하면: -6 = a(0+3)(0-1)

    -6 = a(3)(-1) ⇒ -6 = -3a ⇒ a = 2.

    따라서 식은 y = 2(x+3)(x-1) (또는 y = 2x2 + 4x – 6)

주어진 조건에 가장 적합한 이차함수 식의 형태를 선택하고, 나머지 미지수를 찾아가는 과정이 중요해요! 👍

오늘은 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식, x축과의 교점, 또는 그래프 위의 세 점 등 다양한 조건이 주어졌을 때 이차함수의 식을 결정하는 방법들을 배웠습니다. 각 조건에 따라 표준형, 인수분해된 형태, 또는 일반형 중 어떤 형태로 식을 설정하고 시작하는 것이 유리한지 파악하는 것이 핵심이었죠? 이 능력은 이차함수 관련 문제를 해결하는 데 매우 중요한 역할을 하니, 다양한 문제에 적용해보면서 연습하시길 바랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차방정식과 이차함수 그래프 사이의 관계에 대해 더 깊이 알아보겠습니다. 기대해주세요! 🤝

✨ 이차함수의 식 결정 연습 문제 PDF 링크 삽입 위치 ✨

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