이차방정식 ax² + bx + c = 0에서 다음 두 가지 중요한 켤레근의 성질이 있어요. (단, p, q는 실수 또는 유리수, q ≠ 0)

1. 계수 a, b, c가 모두 유리수일 때:
   만약 p + q√m (p, q는 유리수, √m은 무리수)이 한 근이면, 다른 한 근은 반드시 그 켤레인 p – q√m 이에요.
2. 계수 a, b, c가 모두 실수일 때:
   만약 p + qi (p, q는 실수, q ≠ 0, i는 허수단위)가 한 근이면, 다른 한 근은 반드시 그 켤레복소수인 p – qi 이에요.

가장 중요한 것은 계수 조건! 이 성질들은 각각 ‘계수가 모두 유리수일 때’, ‘계수가 모두 실수일 때’라는 전제 조건이 있을 때만 성립해요. 이 조건이 없다면 켤레근의 성질을 함부로 사용해서는 안 된답니다!

개념정리 52-1: 켤레 무리수와 켤레복소수

켤레근이라는 말은, 어떤 방정식의 한 근이 특정 형태일 때, 마치 거울에 비친 모습처럼 다른 한 근도 정해진 형태를 갖는다는 의미를 담고 있어요. 이차방정식에서는 주로 두 가지 종류의 켤레근을 이야기합니다.

• 켤레무리수 근: 계수가 모두 유리수인 이차방정식에서, 한 근이 p + q√m (p, q는 유리수, √m은 무리수) 꼴일 때, 다른 한 근은 p – q√m이 되는 경우를 말해요. 여기서 p + q√m과 p – q√m은 서로 켤레무리수 관계에 있죠.
• 켤레복소수 근: 계수가 모두 실수인 이차방정식에서, 한 근이 p + qi (p, q는 실수, q \ne 0) 꼴일 때, 다른 한 근은 p – qi (원래 근의 켤레복소수)가 되는 경우를 말해요.

이러한 켤레근의 성질은 근의 공식을 살펴보면 그 이유를 알 수 있어요. 근의 공식 x = ^{(-b ± √(b2 – 4ac))}⁄_2a 에서 ± 부호 때문에 두 근이 발생하죠? 만약 √(b²-4ac) 부분이 무리수이거나 순허수라면, ± 에 의해 자연스럽게 켤레 형태의 두 근이 나타나게 됩니다.

개념정리 52-2: ‘계수가 유리수/실수’ 조건이 없다면?

켤레근의 성질은 매우 유용하지만, 아무 때나 사용할 수 있는 것은 아니에요. 가장 중요한 것은 이차방정식의 계수 조건을 확인하는 것입니다.

• 한 근이 p+q√m일 때 다른 근이 p-q√m이라고 말하려면, 반드시 방정식의 모든 계수(a,b,c)가 유리수라는 조건이 있어야 해요.
• 한 근이 p+qi일 때 다른 근이 p-qi이라고 말하려면, 반드시 방정식의 모든 계수(a,b,c)가 실수라는 조건이 있어야 해요.

만약 이러한 계수 조건이 주어지지 않았다면, 한 근이 p+q√m이라고 해서 다른 근이 반드시 p-q√m이 되는 것은 아니에요! 마찬가지로 계수가 실수가 아닌 복소수일 경우에는 한 근이 p+qi라도 다른 근이 p-qi가 아닐 수 있습니다.

따라서 켤레근의 성질을 사용하기 전에는 문제에서 계수에 대한 조건을 꼼꼼히 확인하는 습관을 들여야 실수를 줄일 수 있답니다!