허수단위 i의 거듭제곱(iⁿ, n은 자연수)은 다음과 같이 4개의 값(i, -1, -i, 1)이 순서대로 반복되어 나타나요.

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = i² × i = -1 × i = -i
• i⁴ = i³ × i = -i × i = -i² = -(-1) = 1
• i⁵ = i⁴ × i = 1 × i = i (다시 i로 돌아왔어요!)
• …이하 반복

이 규칙성을 이용하면, 자연수 k에 대하여 다음과 같이 일반화할 수 있어요.

• 지수 n을 4로 나누었을 때 나머지가 1이면 (n = 4k+1 꼴): iⁿ = i^4k+1 = i
• 지수 n을 4로 나누었을 때 나머지가 2이면 (n = 4k+2 꼴): iⁿ = i^4k+2 = -1
• 지수 n을 4로 나누었을 때 나머지가 3이면 (n = 4k+3 꼴): iⁿ = i^4k+3 = -i
• 지수 n을 4로 나누어떨어지면 (나머지가 0, n = 4k 꼴): iⁿ = i^4k = 1

개념정리 36-1: i, -1, -i, 1의 반복

허수단위 i를 거듭제곱하면 어떤 값들이 나오는지 차근차근 살펴볼게요.

• i¹ = i (자기 자신)
• i² = -1 (이것은 i의 정의였죠!)
• i³ = i² × i = (-1) × i = -i
• i⁴ = i³ × i = (-i) × i = -i² = -(-1) = 1

자, i⁴이 1이 되었어요! 그럼 i⁵는 어떻게 될까요?

• i⁵ = i⁴ × i = 1 × i = i (어? 다시 처음 i로 돌아왔네요!)
• i⁶ = i⁵ × i = i × i = i² = -1
• i⁷ = i⁶ × i = (-1) × i = -i
• i⁸ = i⁷ × i = (-i) × i = -i² = -(-1) = 1

이처럼 i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1 이라는 네 개의 값이 순서대로 계속해서 반복되는 순환성을 가져요. 마치 시계가 4시간마다 같은 위치를 가리키는 것과 비슷하죠!

개념정리 36-2: 지수를 4로 나누어 간단히!

i의 거듭제곱이 4개를 주기로 반복된다는 성질을 이용하면, 아무리 큰 지수의 iⁿ 값이라도 쉽게 구할 수 있어요. 그 비법은 바로 지수 n을 4로 나누었을 때의 나머지를 이용하는 것이랍니다!

자연수 n을 4로 나누었을 때 몫을 k, 나머지를 r이라고 하면 (r은 0, 1, 2, 3 중 하나), n = 4k + r로 나타낼 수 있어요. (단, 나머지가 0일 때는 r=4로 생각해서 n=4k 꼴로 봐도 좋아요. 또는 i^4k = (i⁴)^k = 1^k = 1임을 이용해요.)

이때 iⁿ = i^4k+r = i^4k × i^r = (i⁴)^k × i^r = 1^k × i^r = i^r 가 됩니다.

즉, iⁿ의 값은 i^{(n을 4로 나눈 나머지)}의 값과 같아요!

• 나머지가 1이면: iⁿ = i¹ = i
• 나머지가 2이면: iⁿ = i² = -1
• 나머지가 3이면: iⁿ = i³ = -i
• 나머지가 0 (즉, 4로 나누어떨어지면): iⁿ = i⁴ = 1 (또는 i⁰으로 생각해서 1로 봐도 무방하지만, i⁴로 기억하는 것이 더 안전해요.)