017 인수정리: 나머지가 0일 때의 특별한 마법! 🪄
안녕하세요, 수학의 비밀을 푸는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에 배운 ‘나머지정리’ 기억하나요? 다항식을 일차식으로 나눌 때 나머지를 쉽게 구하는 방법이었죠. 오늘은 나머지정리의 아주 특별한 경우, 바로 나머지가 0일 때 나타나는 마법 같은 정리인 인수정리에 대해 배울 거예요! 인수정리는 다항식의 인수를 찾고, 더 나아가 다항식을 여러 다항식의 곱으로 나타내는 인수분해를 하는 데 아주 강력한 도구가 된답니다. 함께 그 마법을 경험해 볼까요? ✨
📝 핵심만정리: 인수정리의 두 가지 핵심!
x에 대한 다항식 f(x)에 대하여, 인수정리는 나머지정리에서 나머지가 0인 특별한 경우를 말해요.
- 다항식 f(x)가 일차식 x – α로 나누어떨어지면 (즉, 나머지가 0이면), f(α) = 0 이다.
- 역으로, f(α) = 0 이면, 다항식 f(x)는 일차식 x – α로 나누어떨어진다. (즉, x – α는 f(x)의 인수이다.)
결국, “f(α) = 0이다”라는 말과 “f(x)가 x – α를 인수로 갖는다” 또는 “f(x)가 x – α로 나누어떨어진다”는 말은 모두 같은 의미랍니다!
🤔 인수정리란 무엇일까요?
개념정리 17-1: 나머지정리의 특별한 경우
우리는 나머지정리를 통해 다항식 f(x)를 x – α로 나누었을 때의 나머지가 f(α)임을 배웠어요. 인수정리는 여기서 나머지가 정확히 0이 되는 경우를 다루는 정리예요.
만약 f(x)를 x – α로 나누었을 때 나누어떨어진다는 것은 나머지가 0이라는 뜻이죠? 나머지정리에 의해 이 나머지는 f(α)와 같으므로, 결국 f(α) = 0이 됩니다.
반대로, 만약 어떤 다항식 f(x)에 x = α를 대입했더니 f(α) = 0이 되었다면, 이것은 f(x)를 x – α로 나누었을 때의 나머지가 0이라는 의미이므로, f(x)는 x – α로 나누어떨어진다고 말할 수 있어요.
나누어떨어진다는 것은 f(x) = (x – α)Q(x) 꼴로 표현된다는 뜻이고, 이때 (x – α)를 f(x)의 인수라고 부릅니다. (여기서 Q(x)는 몫)
예시: 다항식 f(x) = x2 – x – 2를 생각해 봅시다.
x = 2를 대입하면, f(2) = 22 – 2 – 2 = 4 – 2 – 2 = 0 입니다.
따라서 인수정리에 의해 f(x)는 (x – 2)로 나누어떨어지고, (x – 2)는 f(x)의 인수가 됩니다.
또한, x = -1을 대입하면, f(-1) = (-1)2 – (-1) – 2 = 1 + 1 – 2 = 0 입니다.
그러므로 f(x)는 (x – (-1)), 즉 (x + 1)로도 나누어떨어지고, (x + 1)도 f(x)의 인수입니다.
결과적으로 f(x) = (x – 2)(x + 1)로 인수분해할 수 있음을 알 수 있어요.
🛠️ 인수정리의 활용: 인수를 찾고 인수분해하기!
개념정리 17-2: 인수정리로 다항식 인수분해하기
인수정리는 직접 나눗셈을 하지 않고도 다항식이 어떤 일차식으로 나누어떨어지는지, 즉 어떤 일차인수를 갖는지 쉽게 알 수 있게 해줘요. 이것은 특히 삼차 이상의 고차 다항식을 인수분해할 때 매우 유용하게 사용된답니다.
[인수정리를 이용한 인수분해 단계] (주로 삼차 이상 다항식에 적용)
- 주어진 다항식을 f(x)라고 할 때, f(α) = 0을 만족시키는 상수 α의 값을 찾아요. (이때 α는 보통 f(x)의 (상수항의 약수) ÷ (최고차항의 계수의 약수) 중에서 찾을 수 있어요. 특히 최고차항 계수가 1이면 상수항의 약수 중에서 찾으면 편리해요.)
- f(α) = 0을 만족하는 α를 찾았다면, (x – α)는 f(x)의 인수예요.
- 조립제법이나 직접 나눗셈을 이용하여 f(x)를 x – α로 나누어 몫 Q(x)를 구해요. 그러면 f(x) = (x – α)Q(x) 꼴로 나타낼 수 있죠.
- 몫 Q(x)가 더 이상 인수분해되지 않을 때까지 위 과정을 반복하거나 다른 인수분해 공식을 적용해요.
예시: 다항식 f(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6을 인수분해해 봅시다.
1. f(α) = 0을 만족하는 α를 찾아봐요. 상수항 6의 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6 이에요.
x = 1을 대입하면: f(1) = 13 – 2(1)2 – 5(1) + 6 = 1 – 2 – 5 + 6 = 0. 찾았네요!
2. 따라서 (x – 1)은 f(x)의 인수예요.
3. 조립제법을 사용하여 f(x)를 (x – 1)로 나누면,
1 | 1 -2 -5 6
| 1 -1 -6
-----------------
1 -1 -6 0 <-- 나머지
몫 Q(x) = x2 - x - 6 이고 나머지는 0입니다.
따라서 f(x) = (x - 1)(x2 - x - 6)
4. 이제 몫 x2 - x - 6을 인수분해해요. 곱해서 -6, 더해서 -1이 되는 두 수는 -3과 2이므로,
x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
최종적으로, f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)로 인수분해됩니다!
🧐 개념확인 문제: 인수정리로 상수 찾기!
인수정리를 이용해서 문제 속 상수의 값을 찾아봅시다!
다항식 f(x) = x3 + 4x2 - 6x + k가 x - 1로 나누어떨어지도록 하는 상수 k의 값을 구하시오. (PDF 문제 변형)
정답 및 해설:
다항식 f(x)가 x - 1로 나누어떨어지려면 인수정리에 의해 f(1) = 0이어야 해요.
f(1) = (1)3 + 4(1)2 - 6(1) + k = 0
1 + 4 - 6 + k = 0
-1 + k = 0
따라서 k = 1 입니다.
인수정리는 이처럼 다항식이 특정 일차식으로 나누어떨어지는 조건을 알려주기 때문에, 미지의 계수를 찾거나 인수분해의 실마리를 얻는 데 매우 유용하게 사용된답니다. 🎯
오늘은 나머지정리의 특별한 경우인 인수정리에 대해 배웠습니다. "f(α) = 0이면 f(x)는 x-\alpha를 인수로 갖는다!"라는 이 간단한 원리가 고차 다항식의 인수분해라는 복잡해 보이는 문제를 해결하는 강력한 열쇠가 된다는 것을 알게 되었죠? 인수정리를 잘 활용하면 수학 문제 해결이 한결 수월해질 거예요. 오늘도 정말 수고 많으셨습니다! 다음 포스팅에서는 인수정리를 활용하는 또 다른 방법인 '조립제법'에 대해 알아보겠습니다! 기대해주세요! 👍