012 다항식의 나눗셈에 대한 등식: 몫과 나머지 관계 완전 정복! ⚖️
안녕하세요, 수학 구조 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 다항식을 다른 다항식으로 직접 나누는 방법에 대해 배웠어요. 우리가 나눗셈을 하고 나면 몫과 나머지가 생기죠? 오늘은 이 나누어지는 식, 나누는 식, 몫, 그리고 나머지 사이의 특별한 관계를 나타내는 중요한 등식에 대해 알아볼 거예요. 이 등식은 마치 자연수의 나눗셈에서 검산식과 같은 역할을 하며, 앞으로 배울 나머지 정리와 인수분해의 기초가 된답니다. 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 다항식 나눗셈의 관계식!
다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면, 이들 사이에는 다음과 같은 중요한 등식이 항상 성립해요. [cite: 98]
A = BQ + R
이때, 아주 중요한 조건이 있어요!
- 나머지 R은 상수이거나, (R의 차수) < (B의 차수) 여야 합니다. [cite: 98]
- 만약 R = 0이면, 다항식 A는 다항식 B로 나누어떨어진다고 말해요. [cite: 98]
이 등식은 다항식의 나눗셈에 대한 항등식으로, 문제 해결에 다양하게 활용된답니다.
⚖️ 다항식 나눗셈에 대한 등식: A = BQ + R
개념정리 12-1: 등식의 의미와 유래
다항식 A를 B로 나누었을 때 몫이 Q이고 나머지가 R이라는 것은, 우리가 자연수의 나눗셈에서 배운 것과 똑같은 구조를 가져요.
예를 들어, 17을 5로 나누면 몫은 3이고 나머지는 2이죠? 이것을 등식으로 표현하면 17 = 5 \times 3 + 2 와 같아요. [cite: 101]
다항식에서도 마찬가지예요. [cite: 100] 어떤 다항식 A를 다른 다항식 B로 나누면, A 안에는 B가 Q번 만큼 들어 있고, 그래도 다 들어가지 못하고 남은 부분이 R이라는 뜻이죠.
A \div B = Q … R ➔ A = B \times Q + R
이 등식은 A, B, Q, R에 어떤 문자를 사용하든 항상 성립하기 때문에 항등식의 성질을 가져요.
예시: 이전 포스팅에서 다항식 2x2 + 7x + 8을 x + 2로 나누었을 때, 몫은 2x + 3이고 나머지는 2였어요. (011번 포스팅 예시 변형)
이를 A = BQ + R 형태로 나타내면,
2x2 + 7x + 8 = (x + 2)(2x + 3) + 2 가 됩니다. [cite: 102]
우변을 전개해서 정리하면 실제로 좌변과 같아지는 것을 확인할 수 있어요! [cite: 103]
(x + 2)(2x + 3) + 2 = (2x2 + 3x + 4x + 6) + 2 = 2x2 + 7x + 8 (좌변과 동일!)
🚦 나머지의 조건: 아무나 나머지가 될 순 없어!
개념정리 12-2: 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작아야 한다!
다항식의 나눗셈에서 나머지 R은 아주 중요한 조건을 만족해야 해요. 바로 나머지 R의 차수는 나누는 식 B의 차수보다 반드시 작아야 한다는 것이죠. [cite: 98, 104] 만약 나머지의 차수가 나누는 식의 차수와 같거나 크다면, 나눗셈이 아직 끝나지 않았다는 뜻이에요! 더 나눌 수 있다는 거죠.
- 만약 B가 1차식 (예: ax+b) 이면, R은 상수 (0차식)여야 해요. [cite: 105]
- 만약 B가 2차식 (예: ax2+bx+c) 이면, R은 1차 이하의 다항식 (즉, px+q 꼴) 또는 상수여야 해요. [cite: 104, 105]
- 만약 B가 3차식이라면, R은 2차 이하의 다항식 (즉, px2+qx+r 꼴) 또는 1차식 또는 상수여야 해요. [cite: 104]
그리고 만약 나머지가 0이라면, A = BQ가 되어 A는 B로 나누어떨어진다고 말합니다. [cite: 98]
몫(Quotient)과 나머지(Remainder)의 첫 글자! [cite: 99]
몫을 나타내는 Q는 영어 단어 ‘Quotient’의 첫 글자이고, 나머지를 나타내는 R은 ‘Remainder’의 첫 글자예요. 이렇게 알아두면 기호를 기억하기 좀 더 쉽겠죠?
🧐 개념확인 문제: 나눗셈 등식 세우기!
이제 배운 내용을 바탕으로 다항식의 나눗셈에 대한 등식을 세우고 활용하는 문제를 풀어봅시다!
다항식 P(x)를 2x – 1로 나누었을 때의 몫이 x2 + 2x – 3이고 나머지가 5일 때, 다항식 P(x)를 구하시오. (PDF 문제 변형)
정답 및 해설:
주어진 조건에 따라 다항식의 나눗셈에 대한 등식 A = BQ + R을 세웁니다.
여기서,
- 나누어지는 식 A = P(x)
- 나누는 식 B = 2x – 1
- 몫 Q = x2 + 2x – 3
- 나머지 R = 5
따라서 등식은 다음과 같습니다:
P(x) = (2x – 1)(x2 + 2x – 3) + 5
이제 우변을 전개하여 P(x)를 구합니다.
P(x) = 2x(x2 + 2x – 3) – 1(x2 + 2x – 3) + 5 (분배법칙)
= (2x3 + 4x2 – 6x) – (x2 + 2x – 3) + 5
= 2x3 + 4x2 – 6x – x2 – 2x + 3 + 5 (괄호 풀기, 부호 주의!)
= 2x3 + (4x2 – x2) + (-6x – 2x) + (3 + 5) (동류항 정리)
P(x) = 2x3 + 3x2 – 8x + 8
이처럼 다항식의 나눗셈에 대한 등식은 몫과 나머지를 알 때 원래의 다항식을 찾는 데 유용하게 사용될 수 있답니다! 또한, 이 등식은 앞으로 배울 나머지 정리의 핵심 원리가 되니 꼭 기억해주세요. ✨
오늘은 다항식의 나눗셈 결과를 하나의 등식 A = BQ + R로 표현하는 방법에 대해 배웠습니다. 이 등식은 나누는 식, 몫, 나머지의 관계를 명확히 보여주며, 특히 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아야 한다는 중요한 조건을 포함하고 있죠. 이 관계식을 잘 이해하고 활용하면 다항식 관련 문제 해결 능력이 한층 더 성장할 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 또 다른 흥미로운 수학 세계로 안내할게요! 🚀