실수 $t$에 대하여 두 함수
$$f(x)=\begin{cases}-x^2+3kx+2 & (x\lt 0)\\[4pt] x^2+\dfrac{4}{3k}x-2 & (x\ge 0)\end{cases}\qquad g(x)=2x+t$$
의 그래프가 만나는 점의 개수를 $h(t)$라 하자. 함수 $h(t)$가 $t=\alpha$에서 불연속이 되는 실수 $\alpha$의 개수가 $2$가 되도록 양수 $k$를 정할 때, $150k$의 값을 구하시오.
1기울어진 직선을 수평선으로 바꾸기
$f(x)=2x+t$ 에서 $2x$를 왼쪽으로 넘기면 $f(x)-2x=t$ 입니다. $F(x)=f(x)-2x$ 라 하면
$$F(x)=\begin{cases}-x^2+(3k-2)x+2 & (x\lt 0)\\[4pt] x^2+\left(\dfrac{4}{3k}-2\right)x-2 & (x\ge 0)\end{cases}$$
2직접 움직여 보기
버튼으로 $k$의 경우를 고르고, $t$ 슬라이더로 주황색 선을 위아래로 움직여 보세요. 오른쪽 그림은 $h(t)$의 그래프를 세로축이 $t$가 되도록 눕혀서 왼쪽 그림과 높이를 맞춘 것입니다.
3항상 생기는 불연속 2개
$F(x)$는 $x=0$에서 끊어져 있습니다. 왼쪽 조각은 점 $(0,\,2)$로 다가가지만 그 점은 빠져 있고(빈 점), 오른쪽 조각은 점 $(0,\,-2)$에서 시작합니다(찬 점).
수평선이 높이 $2$를 지나는 순간 왼쪽 조각과의 교점이 생기거나 사라지고, 높이 $-2$를 지나는 순간 오른쪽 조각과의 교점이 생기거나 사라집니다. 그래서 $t=2$, $t=-2$ 는 $k$가 무엇이든 항상 불연속입니다.
4세 번째 불연속은 꼭짓점에서 생긴다
두 조각의 축은 각각 $x=\dfrac{3k-2}{2}$, $x=1-\dfrac{2}{3k}$ 이고, 둘 다 $k=\dfrac23$ 을 기준으로 부호가 바뀝니다.
(ⅰ) $0\lt k\lt \dfrac23$ 왼쪽 조각의 꼭짓점이 $x\lt 0$ 안에 들어와 봉우리(높이 $M\gt 2$)가 생깁니다.
| $t$ | $t\lt -2$ | $-2\le t\le 2$ | $2\lt t\lt M$ | $t=M$ | $t\gt M$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $h(t)$ | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
불연속: $-2,\ 2,\ M$ → 3개 (부적합)
(ⅱ) $k\gt \dfrac23$ 오른쪽 조각의 꼭짓점이 $x\gt 0$ 안에 들어와 골짜기(높이 $m\lt -2$)가 생깁니다.
| $t$ | $t\lt m$ | $t=m$ | $m\lt t\le -2$ | $-2\lt t\lt 2$ | $t\ge 2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $h(t)$ | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
불연속: $m,\ -2,\ 2$ → 3개 (부적합)
(ⅲ) $k=\dfrac23$ 두 꼭짓점이 모두 $x=0$ 에 놓여 봉우리도 골짜기도 생기지 않습니다. 이때 $F(x)=\begin{cases}-x^2+2 & (x\lt 0)\\ x^2-2 & (x\ge 0)\end{cases}$
| $t$ | $t\lt -2$ | $-2\le t\lt 2$ | $t\ge 2$ |
|---|---|---|---|
| $h(t)$ | 1 | 2 | 1 |
불연속: $-2,\ 2$ → 2개 (적합)
5식으로 정리
꼭짓점이 각 조각의 범위 안으로 들어오지 않을 조건을 쓰면
$$\frac{3k-2}{2}\ge 0\ \Rightarrow\ k\ge\frac23,\qquad 1-\frac{2}{3k}\le 0\ \Rightarrow\ k\le\frac23$$
두 조건을 동시에 만족하는 값은 $k=\dfrac23$ 하나뿐입니다.
정답 확인하기
$150k=150\times\dfrac23=100$
기억할 발상
- 기울기가 정해진 직선 $y=2x+t$ 와의 교점 개수는 $f(x)-2x=t$ 로 바꿔 수평선 문제로 만든다.
- $h(t)$가 끊어지는 높이는 두 종류뿐이다. 그래프가 끊어진 점의 높이와 꼭짓점(극값)의 높이.
- 끊어진 점에서 이미 2개가 나오므로, 꼭짓점이 범위 안에 들어오지 않게 하면 된다.