발상의 출발점모든 실수 a 에서 극한이 존재하려면 분모가 0 이 되는 곳이 없거나, 있어도 분자와 함께 0 이 되어 약분돼야 한다. 분모 f(x){f(x)−k(x+2)} 에서 f(x) 는 늘 양수이고 분자 x² 의 근은 0 뿐이므로, 남은 이차식이 실근이 없거나 x=0 을 중근으로 갖는 경우만 살아남는다. 판별식 범위와 경계값 하나를 합치는 문제다.

실수 포인트 ①판별식 조건 −2<k<6 만 구하고 k=6 을 빼는 실수. k=6 이면 분모의 남은 인수가 x² 이 되어 분자 x² 와 약분되고 극한 1/12 이 존재하므로 k=6 도 포함한다.

실수 포인트 ②f(x)=0 이 되는 점도 따져야 한다고 보고 f 의 근을 찾느라 헤매는 실수. f(x)=(x+3)²+3>0 이므로 f 는 분모를 0 으로 만들지 않는다 → 남은 인수 f(x)−k(x+2) 만 본다.

실수 포인트 ③경계라는 이유로 k=−2 도 포함하는 실수. k=−2 이면 남은 인수 x²+8x+16=(x+4)² 이 x=−4 에서 0 이 되는데 분자 x² 는 0 이 아니므로 극한이 없다 → 정수 k 는 −1~6 의 8개.

정답 ④ (−2<k≤6, 정수 8개)