마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
③4
절댓값 부등식을 풀어 f(x)의 범위를 2x 근처로 잡아 두세요 양 끝이 양수인 구간에서만 제곱해도 부등호가 유지된다.개념 카드 · 함수의 극한의 대소 관계 「|f−2x|<1 ⇔ 2x−1<f<2x+1」
|f(x)−2x|<1은 −1<f(x)−2x<1, 즉 2x−1<f(x)<2x+1이다. f(x)를 딱 주지 않아도 절댓값 하나로 f(x)를 좁은 띠 안에 완전히 가둘 수 있다. 함수의 극한 대소 관계(샌드위치)를 쓰기 위한 밑재료 만들기다.◀ 절댓값은 −1<…<1로 풀어 위·아래 범위부터 확보
구하는 식이 {f(x)}²이니 2x−1<f(x)<2x+1을 제곱해야 한다. 단 제곱은 양변이 양수일 때만 부등호가 유지된다. x→∞면 2x−1>0이 보장되므로 안심하고 제곱: (2x−1)²<{f(x)}²<(2x+1)², 즉 4x²−4x+1<{f(x)}²<4x²+4x+1.◀ 음수가 섞이면 제곱하며 부등호 꼬임, x→∞라 세이프
각 변을 x²−x+1(항상 양수)로 나눈 뒤, 유리식 (4x²∓4x+1)/(x²−x+1)의 x→∞ 극한을 구한다. 분모·분자를 x²로 나누면 양끝 모두 4/1 = 4로 수렴. 샌드위치로 정답은 4. 중간 f(x)를 구할 필요가 전혀 없다.◀ x→∞ 유리식 극한 = 최고차 계수비, 양끝 4로 일치
발상의 출발점절댓값을 풀어 f(x)를 2x−1<f(x)<2x+1로 가둔 뒤, 필요한 {f(x)}²을 만들기 위해 제곱한다. x→∞라 양끝이 양수여서 제곱해도 부등호가 살아 있다. 분모·분자를 x²로 나눠 양끝을 4로 몰면 샌드위치로 극한값 4가 나온다.
실수 포인트 ①양수 조건을 확인하지 않고 무작정 제곱하는 실수. 부등식 제곱은 양변이 양수(x→∞에서 2x−1>0)일 때만 방향이 유지된다.
실수 포인트 ②양끝 유리식을 최고차 계수비로 보지 못하고 헤매는 실수. x²로 나누면 4x²/x² = 4로 즉시 보인다.
실수 포인트 ③좌·우 두 유리식이 같은 값(4)으로 수렴해야 샌드위치가 성립하는데, 한쪽만 계산하고 끝내는 실수. 양끝 일치를 반드시 확인하라.
정답 ③ (4)
아직 쌓인 질문이 없어요. 막힌 줄을 그대로 적어 보내면 오늘 밤 답변이 여기에 남아요.
누르지 않은 것은 보이지 않아요. 정답·첫 단추·STEP을 어디까지 열었는지가 아래에 남아요.
아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중