마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
③lim f(3x)/x=3/2
묻는 것이 f(3x)이니 부등식의 x 자리에 3x 를 넣어 보세요 f(3x)/x 는 f(3x)/(3x) 에 3 을 곱한 것이다.개념 카드 · 함수의 극한의 대소 관계 「x 대신 3x 대입 → 양 끝 극한 비교」
부등식은 f(x) 에 대한 것인데 묻는 식은 f(3x)/x 다. x>0 이면 3x>0 이므로 부등식은 x 대신 3x 를 넣어도 성립한다. 해설 STEP A 처럼 먼저 x 로 나눠 (x²−x)/(2x²+3x)≤f(x)/x≤(x²+x)/(2x²+x) 로 만든 뒤 3x 를 대입하면 가운데가 f(3x)/(3x) 가 된다.◀ f(3x) 가 보이면 x 자리에 3x
대입하면 (9x²−3x)/(18x²+9x)≤f(3x)/(3x)≤(9x²+3x)/(18x²+3x) 이다. 해설 STEP A 처럼 세 변에 3 을 곱해 가운데를 f(3x)/x 로 맞추면 양 끝은 (9x²−3x)/(6x²+3x), (9x²+3x)/(6x²+x) 가 된다. 곱하는 수 3 이 양수라 부등호는 그대로다.◀ 가운데를 묻는 식과 똑같이 맞춘다
해설 STEP A 의 파란 주석처럼 분자·분모를 x² 으로 나누면 양 끝의 극한은 모두 9/6=3/2. STEP B 처럼 대소 관계에 의해 limx→∞f(3x)/x=3/2, 답은 ③. lim f(x)/x=1/2 을 먼저 구하고 f(3x)/x=3×f(3x)/(3x) 로 3 을 곱해도 같은 값이다.◀ 양 끝 최고차계수 비가 같으면 끝
발상의 출발점부등식은 f(x) 를 누르고 있지만 묻는 것은 f(3x)/x 이다. 3x 도 양의 실수이므로 부등식에 그대로 대입할 수 있고, 가운데 모양을 묻는 식과 똑같이 만드는 것이 전부다. 모양이 맞으면 양 끝은 차수가 같은 ∞/∞ 꼴이라 최고차계수의 비 3/2 로 같아진다.
실수 포인트 ①lim f(x)/x=1/2 을 구하고 그대로 답으로 쓰는 실수. 묻는 것은 f(3x)/x 로 3 배가 붙는다 → 3/2, ③
실수 포인트 ②3x 를 대입할 때 분모 2x+3 은 그대로 두는 실수. 모든 x 를 3x 로 바꿔 분모도 6x+3 이 되어야 한다 → 분자 9x²−3x 와 함께 바뀐다.
실수 포인트 ③x→∞ 인데 3x 를 넣어도 되는지 망설이다 치환을 포기하는 실수. x>0 이면 3x>0 이라 부등식이 3x 에서도 성립하고, x→∞ 일 때 3x→∞ 이다.
정답 ③ (lim f(3x)/x=3/2)
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