마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한의 존재 조건
③a+b=1
x→∞ 이면 1/(x+a)는 0으로 사라지니 b부터 정하세요 (가)는 가로 점근선, (나)는 세로 점근선을 말한다.개념 카드 · 함수의 극한의 존재 조건 「x→∞ 극한 = 수평점근선 높이, 극한 없음 = 분모 0」
조건 (가) limx→∞[1/(x+a)+b] = 0+b = b = 2. 분모가 무한대로 커지는 분수는 0으로 죽는다. 남는 건 상수항 b뿐이고, 이 값이 곧 수평점근선 y=b의 높이다. 그래서 b=2.◀ x→∞ 극한값 = 수평점근선의 높이
조건 (나) x=1에서 극한이 없다는 건, x=1이 수직점근선이라는 뜻 = 분모가 0이 되는 점이라는 뜻. 분모 x+a에 x=1을 넣어 1+a=0 → a=−1. ‘극한 없음’을 점근선 언어로 번역하는 게 이 문제의 핵심이다.◀ 유리함수에서 극한 없는 점 = 분모가 0인 점
f(x)=1/(x+a)+b의 그래프는 수직점근선 x=−a, 수평점근선 y=b인 쌍곡선이다. 조건 (가)는 가로 점근선을, 조건 (나)는 세로 점근선을 각각 알려준다. a=−1, b=2 → a+b=1.◀ 이 문제의 출제 포인트
발상의 출발점f(x)=1/(x+a)+b는 표준형 유리함수(쌍곡선)로, 점근선이 x=−a와 y=b 두 개다. 조건 (가)의 x→∞ 극한값은 수평점근선의 높이 b를, 조건 (나)의 ‘극한이 존재하지 않음’은 수직점근선의 위치 −a를 각각 지목한다. 두 조건을 점근선으로 번역하면 계산 없이 끝난다.
실수 포인트 ①(나)에서 x=1을 함숫값 문제로 오해해 f(1)을 계산하려는 실수. ‘극한이 없다’는 건 발산, 즉 분모=0인 세로점근선을 뜻한다.
실수 포인트 ②1+a=0에서 a=1로 부호를 놓치는 실수. a=−1이 맞다.
실수 포인트 ③부호가 헷갈려 a+b를 잘못 더하는 실수. a=−1, b=2이므로 a+b=(−1)+2=1이다.
정답 ③ (a+b=1)
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