마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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BASIC01-1 함수의 극한 함수의 극한의 존재 조건
107=−3+k
식이 갈리는 x→3 에서 위아래 두 식의 극한을 같게 놓으세요 직선 −x+k 가 포물선 끝점을 지나야 한다.개념 카드 · 함수의 극한의 존재 조건 「극한 존재 ⟺ 좌극한 = 우극한, 이것이 방정식」
f(x)는 x≤3과 x>3에서 식이 다르므로 극한이 문제 되는 곳은 x=3 하나뿐이다. 해설 STEP A처럼 x→3−는 x²−2x+4에 3을 넣어 7, x→3+는 −x+k에 3을 넣어 −3+k. 등호(≤)가 어느 쪽에 붙었는지는 극한에 영향이 없다. 각 조각의 식에 3을 넣는 것이 좌·우극한이다.◀ 경계점 좌·우에 각각 3을 넣는다
해설 STEP B를 보면 limx→3f(x)가 존재하려면 limx→3−f(x)=limx→3+f(x)이어야 하므로 7=−3+k라는 k에 대한 일차방정식이 된다. 극한값이 존재할 때라는 조건은 값을 주지 않는 대신 이 등식을 준다. 그래프로는 직선 y=−x+k가 포물선의 끝점 (3, 7)을 지나야 한다는 뜻이다.◀ 극한 존재 ⟹ 좌=우 방정식
STEP B 마지막 줄처럼 7=−3+k에서 k=10이다. 검산은 x>3 식에 3을 넣어 −3+10=7이 좌극한 7과 같은지 보면 된다. 해설 그래프에서 직선이 (3, 7)에서 포물선과 만나 한 곡선처럼 이어지는 모습이 그 확인이다. 답은 10.◀ k=10, 직선이 (3, 7)을 지난다
발상의 출발점구간별로 정의된 함수에서 극한값이 존재한다는 조건은 식이 바뀌는 점 x=3에서 좌극한과 우극한이 같다는 방정식 하나로 번역된다. 위 식에 3을 넣은 값 7과 아래 식에 3을 넣은 값 −3+k를 같게 놓으면 k가 바로 나온다. 해설 STEP A의 그래프처럼 직선 y=−x+k를 포물선의 끝점에 닿게 옮기는 그림으로 이해하면 조건의 뜻이 분명해진다.
실수 포인트 ①x≤3에 등호가 있으니 우극한도 x²−2x+4로 계산하는 실수. 우극한 x→3+는 3보다 큰 쪽이므로 x>3 식 −x+k를 써야 한다. 등호 위치는 함숫값에만 관여하고 극한에는 영향이 없다 → 우극한 −3+k
실수 포인트 ②좌극한 계산에서 3²−2·3+4를 9−6+4=7이 아니라 부호를 놓쳐 9+6+4=19 등으로 쓰는 실수. −2x에 3을 넣으면 −6이다 → 좌극한 7
실수 포인트 ③극한이 존재한다를 f(3)=7과 연결해 함숫값 조건으로 푸는 실수. 여기서는 함숫값이 아니라 좌극한=우극한만 쓰면 되며, 7=−3+k에서 k=10이다
정답 10 (7=−3+k)
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아직 아무것도 열지 않았어요혼자 풀기 중