마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한의 존재 조건
②좌극한 0 = 우극한 0
절댓값을 벗긴 뒤 약분하면 좌·우가 부호만 다른지 보세요개념 카드 · 함수의 극한의 존재 조건 「절댓값을 벗겨 약분한 뒤 좌·우 비교」
해설 STEP A의 ①을 보면 |x²−x−2|=|(x+1)(x−2)|를 x=2 근처(−1<x<2, x>2)에서 부호를 정해 벗기면 좌극한 −3, 우극한 3이다. ③은 |x−1|/(x−1)이 −1과 1, ④는 (x²−2x)/|x|가 2와 −2. 셋 다 약분 뒤 남는 값이 0이 아니어서 좌·우가 부호 반대로 갈린다. 절댓값이 분자에 있든 분모에 있든 벗기고 약분하는 순서는 같다.◀ 벗기고 약분해 남는 값이 0이 아니면 좌·우가 갈린다
해설 ②처럼 x²−4x+4=(x−2)²이므로 |x−2|로 나누면 x<2에서 −x+2, x>2에서 x−2가 남는다. 둘 다 x→2에서 0이다. 절댓값 때문에 부호가 반대인 식이 나와도 그 값이 0이면 좌극한=우극한=0으로 극한이 존재한다. 그래프가 (2, 0)에서 V자로 이어지는 것이 그 증거다.◀ 부호가 반대여도 0이면 만난다
해설 ⑤를 보면 limx→−∞(−4x²+3)=−∞다. x²이 한없이 커지고 앞의 −4 때문에 값은 한없이 작아진다. −∞로 간다는 것은 극한값이 존재하지 않는 경우다. 그래서 ①③④(좌·우 불일치)와 ⑤(발산)를 빼면 남는 ②가 답. 답은 ②.◀ 발산(∞, −∞)은 존재가 아니다, 답은 ②
발상의 출발점①~④는 절댓값 하나로 x=2, 1, 0의 좌·우에서 식이 갈라지는 문제고, ⑤는 x→−∞ 발산 문제다. 절댓값은 안이 0이 되는 점을 기준으로 부호를 정해 벗긴 뒤 약분하고, 남는 값이 0이 아니면 좌·우가 부호만 반대로 갈려 극한이 없다. 분자에 (x−2)²이 있어 약분 뒤에도 (x−2)가 남는 ②만 양쪽이 0으로 만난다. 해설 STEP A의 그래프 네 개에서 끊긴 곳과 이어진 V자를 비교하라.
실수 포인트 ①①에서 |x²−x−2|를 x=2 근처에서 부호 결정 없이 그냥 x²−x−2로 벗기는 실수. −1<x<2에서는 (x+1)(x−2)<0이므로 −(x+1)(x−2)로 벗겨야 좌극한 −3이 나온다. 우극한 3과 달라 극한이 없다 [거짓]
실수 포인트 ②②도 절댓값이 분모에 있으니 ③처럼 극한이 없다고 넘기는 실수. 분자가 (x−2)²이라 약분 뒤 −x+2와 x−2가 남고 둘 다 0으로 간다. 좌극한=우극한=0이므로 극한이 존재한다 [참]
실수 포인트 ③⑤에서 −∞를 값이 정해졌으니 극한이 존재한다고 보는 실수. limx→−∞(−4x²+3)=−∞는 발산이며 극한값이 없다는 뜻이다 [거짓]
정답 ② (좌극한 0 = 우극한 0)
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