마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 다항식 거듭제곱 극한
1a=2, b=−4, n=3
극한값이 3인 유한값이니 분자의 차수가 분모와 같아야 함을 쓰세요 b=0 이면 분모가 1차, 이 경우도 따져야 논리가 완결된다.개념 카드 · 다항식 거듭제곱 극한 「극한이 유한 ⇒ 차수 같음, 값 = 최고차항 계수비」
분자 (ax−1)ⁿ−8x³을 그대로 두면 3차라 분모(2차)보다 커서 극한이 발산한다. 살아남으려면 (ax)ⁿ의 최고차항이 8x³와 딱 맞아 소거돼야 한다 → (ax)ⁿ=8x³ 이므로 a=2, n=3. ‘최고차 소거’가 이 문제의 심장이다.◀ 발산을 막는 유일한 길은 최고차항 상쇄
a=2, n=3을 넣으면 분자 (2x−1)³−8x³=−12x²+6x−1 (2차), 분모 bx²+2x+1 (2차). 차수가 같으니 극한값은 최고차 계수비 −12/b. 이게 3이라 했으니 −12/b=3 → b=−4. 분모·분자를 x²으로 나눠도 같은 결론이다.◀ 같은 차수끼리는 ‘계수비’가 곧 답
문제는 b가 0이 아니라고 안 했다. b=0이면 분모가 1차(2x+1)라 분자도 1차여야 하는데 (ax−1)ⁿ−8x³은 1차가 될 수 없다 → b=0은 모순. 그래서 b≠0. 미정계수가 최고차 자리에 있으면 ‘0이냐 아니냐’를 먼저 점검하는 습관을 들여라.◀ 분모 최고차 계수엔 항상 ‘0 여부’ 체크
발상의 출발점분자에 3차항 −8x³이 있는데 분모가 2차라 그냥 두면 발산이다. (ax−1)ⁿ의 최고차 (ax)ⁿ이 8x³와 소거되도록 a=2, n=3을 잡는 게 출발점. 소거 후 분자가 2차로 내려오면 분모와 차수가 같아져 계수비 −12/b=3에서 b=−4가 나온다.
실수 포인트 ①b=0 경우를 빼먹는 실수. b는 0일 수도 있는 상수이므로 반드시 경우를 나눠 b=0이 모순임을 보여야 논리가 완결된다.
실수 포인트 ②(2x−1)³ 전개에서 x²항 계수를 놓치는 실수. (2x)³−3(2x)²+3(2x)−1=8x³−12x²+6x−1이다.
실수 포인트 ③계수비에서 부호를 놓쳐 12/b=3, b=4로 답하는 실수. 분자 최고차가 −12이므로 −12/b=3, b=−4다. 따라서 a+b+n=2+(−4)+3=1.
정답 1 (a=2, b=−4, n=3)
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