고난도
곡선과 x축 사이의 넓이
접선과 곡선의 교점
삼차함수의 점대칭
출제의도
이 문항은 삼차함수 위의 한 점에서 그은 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 t로 나타내고, 두 넓이가 같다는 조건을 정적분 식으로 세워 t를 결정할 수 있는지 확인합니다. 접점이 중근이 된다는 사실, 정적분으로 넓이를 구하는 방법, 그리고 차수가 높은 방정식을 치환과 인수분해로 푸는 능력이 모두 필요합니다.
f(x)=x(x−2)(x−4)의 그래프가 점 (2, 0)에 대하여 대칭이라는 구조를 알아차리면 복잡한 사차방정식 없이도 훨씬 짧게 풀 수 있다는 점이 이 문항의 핵심입니다.
단계별 힌트
점 P에서의 접선과 곡선 y=f(x)의 방정식을 연립하면 삼차방정식이 나옵니다. 접점의 x좌표 t는 이 방정식의 중근입니다. 그렇다면 나머지 한 근, 즉 점 Q의 x좌표를 t로 어떻게 나타낼 수 있을지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
연립한 삼차방정식의 세 근이 t, t, (Q의 x좌표)이므로 근과 계수의 관계에서 세 근의 합은 6입니다. 따라서 Q의 x좌표는 6−2t이고, 0<t<1이므로 4보다 크고 6보다 작습니다.
S1은 ∫20f(x)dx로 바로 계산되고, S2는 ∫6−2t4f(x)dx입니다. 두 식을 같다고 놓으면 t에 대한 방정식이 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
6−2t=−2(t−3)이므로 t−3=s로 치환하면 사차방정식이 s4+4s3+4s2−1=0으로 정리됩니다. 앞의 세 항이 (s2+2s)2이라는 점을 이용해 인수분해하고, 0<t<1을 만족하는 t만 고르세요. 마지막으로 구하는 값은 두 점 P, Q의 y좌표의 곱입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 Q의 x좌표를 t로 나타내기
점 P에서의 접선은 y=(3t2−12t+8)x−2t3+6t2입니다. 곡선과 연립하면 (x−t)2(x+2t−6)=0이므로 점 Q의 x좌표는 6−2t입니다.
STEP BS1 구하기
0≤x≤2에서 f(x)≥0이므로 S1=∫20(x3−6x2+8x)dx=4−16+16=4입니다.
STEP CS1=S2로 t 구하기
S2=∫6−2t4f(x)dx=4(t−3)4+16(t−3)3+16(t−3)2이고, 이 값이 4와 같으므로 t−3=s라 하면 s4+4s3+4s2−1=0, 즉 (s+1)2(s2+2s−1)=0입니다. s=−1 또는 s=−1±√2이므로 t=2 또는 t=2±√2이고, 0<t<1이므로 t=2−√2입니다.
STEP D두 점의 y좌표의 곱 계산하기
f(x)=x(x−2)(x−4)를 이용하면 f(2−√2)=2√2, f(2+2√2)=8√2입니다. 따라서 곱은 2√2×8√2=32이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 점대칭과 평행이동으로 사차방정식 피하기
먼저 접선을 직접 구하지 않아도 Q의 x좌표는 바로 나옵니다. 접선과 곡선을 연립한 삼차방정식은 최고차항이 x3, 이차항이 −6x2이므로 세 근의 합이 6이고, 세 근이 t, t, xQ이므로 xQ=6−2t입니다.
다음으로 f(x)=x(x−2)(x−4)의 그래프는 점 (2, 0)에 대하여 대칭입니다. 그래서 S1은 2≤x≤4에서 곡선과 x축으로 둘러싸인 넓이, 즉 ∫42(−f(x))dx와 같습니다. S1=S2를 옮겨 적으면 ∫6−2t2f(x)dx=0이 됩니다.
이제 x−2를 새 변수로 보아 그래프를 x축 방향으로 −2만큼 옮기면 f(x+2)=x3−4x이고, 적분 구간은 0부터 4−2t까지가 됩니다. u=4−2t라 하면 u44−2u2=0이므로 u2=8, u=2√2입니다. 따라서 Q의 x좌표는 6−2t=2+2√2, t=2−√2로 사차방정식을 인수분해할 필요 없이 곧바로 결정됩니다.
실수를 줄이는 전략
- S2의 적분 구간은 0이 아니라 4부터 시작합니다. 0<t<1에서 Q의 x좌표 6−2t는 4와 6 사이이므로 구간 [4, 6−2t]에서 f(x)≥0임을 확인하고 적분하세요.
- (6−2t)4을 그대로 전개하면 계산이 매우 길어지고 실수가 잦습니다. 6−2t=−2(t−3)으로 묶어 t−3=s로 치환하면 식이 깔끔해집니다.
- s4+4s3+4s2−1=0은 (s2+2s)2−1=0으로 보면 합차 공식으로 한 번에 인수분해됩니다. 인수정리로 하나씩 대입하는 것보다 빠릅니다.
- t의 후보는 2, 2+√2, 2−√2 세 개입니다. 조건 0<t<1을 적용해 2−√2(약 0.59)만 남기는 과정을 빠뜨리지 마세요.
- y좌표는 f(x)를 전개식이 아니라 인수분해된 x(x−2)(x−4) 꼴에 대입하면 계산이 훨씬 짧습니다. 구하는 값은 두 y좌표의 합이 아니라 곱이라는 점도 다시 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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