빈출 유형
곡선과 직선 사이의 넓이
정적분의 구간 성질
출제의도
이 문항은 두 정적분이 같다는 조건을 적분 구간의 성질로 바꿔 읽을 수 있는지 확인합니다. ∫102f(x)dx와 ∫105f(x)dx는 구간 [5, 10]이 겹치므로, 두 값이 같다는 것은 겹치지 않는 구간 [2, 5]에서의 정적분이 0이라는 뜻입니다.
꼭짓점으로 이차함수의 식을 세우고 이 조건으로 이차항의 계수를 정한 뒤, 포물선과 직선 y=4 사이의 넓이를 구하는 것이 전체 흐름입니다.
단계별 힌트
꼭짓점이 (2, −2)이므로 f(x)=a(x−2)2−2로 놓을 수 있습니다. 모르는 것은 a 하나뿐입니다. 주어진 두 정적분은 적분 구간이 [2, 10]과 [5, 10]으로 뒤쪽이 겹칩니다. 두 값이 같다면 어느 구간의 정적분이 0이 되어야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
∫102f(x)dx−∫105f(x)dx=∫52f(x)dx=0입니다.
f(x)=a(x−2)2−2를 그대로 전개해도 되지만, x−2=t로 보면 적분 구간이 [0, 3]이 되어 ∫30(at2−2)dt를 계산하는 것과 같아집니다. 이 값이 0이 되도록 a를 정하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a를 구했으면 f(x)=4를 풀어 곡선과 직선이 만나는 두 점의 x좌표를 찾으세요. a>0이면 포물선이 아래로 볼록하므로 두 교점 사이에서는 직선 y=4가 위에 있습니다. 넓이는 두 교점 사이에서 {4−f(x)}를 적분한 값입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 24
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A꼭짓점으로 식 세우기
꼭짓점이 (2, −2)이므로 f(x)=a(x−2)2−2 (a≠0)로 놓습니다.
STEP B정적분 조건을 [2, 5]의 정적분으로 바꾸기
∫102f(x)dx=∫105f(x)dx에서 ∫52f(x)dx=0입니다. 이 정적분을 계산하면 9a−6이므로 9a−6=0, 즉 a=23이고 f(x)=23(x−2)2−2입니다.
STEP C곡선과 직선 y=4의 교점 구하기
23(x−2)2−2=4에서 (x−2)2=9이므로 x−2=±3, 즉 x=−1 또는 x=5입니다.
STEP D넓이 계산하기
−1≤x≤5에서 4≥f(x)이므로 넓이는 ∫5−1{4−f(x)}dx=∫5−1{6−23(x−2)2}dx=36−12=24입니다. 따라서 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 포물선 넓이 공식으로 한 줄 계산
이차항의 계수가 a인 포물선과 직선이 x=α, x=β(α<β)에서 만날 때, 둘로 둘러싸인 부분의 넓이는 |a|(β−α)36입니다. 이 문항에서는 a=23, β−α=5−(−1)=6이므로 넓이는 23×636=23×36=24가 곧바로 나옵니다.
검산용으로 아르키메데스의 성질도 쓸 수 있습니다. 포물선의 활꼴 넓이는 현(두 교점을 잇는 선분)과 꼭짓점 높이로 만든 직사각형 넓이의 23입니다. 현의 길이가 6이고 꼭짓점 y=−2에서 직선 y=4까지의 높이가 6이므로 23×6×6=24로 같은 값이 확인됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 두 정적분이 같다는 조건을 f(2)=f(5)처럼 함숫값 조건으로 바꾸면 안 됩니다. 적분 구간이 겹치는 부분을 빼서 ∫52f(x)dx=0으로 바꾸는 것이 정확한 해석입니다.
- ∫52f(x)dx=0은 넓이가 0이라는 뜻이 아닙니다. x축 아래 부분과 위 부분의 부호 있는 넓이가 서로 상쇄된다는 뜻이므로 식 계산으로 처리하세요.
- a(x−2)2−2를 전개해서 [2, 5]를 대입하면 계산이 길어져 실수가 잦습니다. x−2=t로 보고 [0, 3]에서 적분하면 9a−6이 바로 나옵니다.
- (x−2)2=9에서 x=5만 쓰고 x=−1을 빠뜨리는 실수가 많습니다. x−2=±3 두 경우를 모두 적으세요.
- 넓이의 피적분함수는 위에 있는 식에서 아래에 있는 식을 뺀 {4−f(x)}입니다. a=23>0으로 아래로 볼록인지 먼저 확인하면 순서를 헷갈리지 않습니다.
엄선된 풀이 영상
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