빈출 유형
곡선과 x축 사이의 넓이
우함수의 대칭성
출제의도
이 문항은 두 조건을 식으로 옮겨 사차함수를 결정한 뒤, 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있는지 확인합니다. 조건 (가) f(−x)=f(x)는 그래프가 y축에 대하여 대칭이라는 뜻이므로 홀수차항이 모두 사라지고, 미지수가 두 개로 줄어듭니다.
조건 (나)의 “x=2에서 극솟값 −25”는 f′(2)=0과 f(2)=−25라는 두 개의 식을 줍니다. 함수를 구한 다음에는 x축과 만나는 점과 그 사이에서 f(x)의 부호를 확인하고, 대칭성을 이용해 적분 계산을 절반으로 줄이는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
조건 (가)는 모든 실수 x에 대하여 f(−x)=f(x), 즉 그래프가 y축에 대하여 대칭이라는 뜻입니다. 다항함수가 이 성질을 가지려면 어떤 차수의 항만 남아야 할지 생각해 보세요. 그러면 최고차항의 계수가 1인 사차함수를 미지수 몇 개로 놓을 수 있을까요?
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(−x)=f(x)이면 x3, x처럼 홀수차항의 계수가 0이므로 f(x)=x4+ax2+b로 놓을 수 있습니다.
x=2에서 극솟값 −25를 가진다는 조건은 f′(2)=0과 f(2)=−25라는 두 식으로 바뀝니다. 미지수가 a, b 두 개이므로 이 두 식으로 함수가 완전히 결정됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
구한 f(x)=0을 x2에 대한 이차식으로 보고 인수분해하면 곡선이 x축과 만나는 점을 찾을 수 있습니다. 두 교점 사이에서 f(x)≤0이므로 넓이는 −f(x)를 적분해야 하고, f(x)가 우함수이므로 ∫3−3(−f(x))dx=2∫30(−f(x))dx로 바꿔 계산하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 5045
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 함수의 꼴 정하기
f(−x)=f(x)이므로 홀수차항이 없고, 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)=x4+ax2+b (a, b는 상수)로 놓습니다. 이때 f′(x)=4x3+2ax입니다.
STEP B조건 (나)로 a, b 구하기
f′(2)=32+4a=0에서 a=−8이고, f(2)=16+4a+b=16−32+b=−25에서 b=−9입니다. 따라서 f(x)=x4−8x2−9입니다.
STEP Cx축과의 교점과 부호 확인하기
f(x)=(x2+1)(x2−9)=(x2+1)(x+3)(x−3)=0에서 x=−3 또는 x=3입니다. x2+1>0이므로 곡선은 x축과 두 점 (−3, 0), (3, 0)에서만 만나고, −3≤x≤3에서 f(x)≤0입니다.
STEP D대칭성으로 넓이 계산하기
구하는 넓이는 ∫3−3(−x4+8x2+9)dx=2∫30(−x4+8x2+9)dx=2[−15x5+83x3+9x]30=2×2525=5045이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 극소점 두 개로 식을 한 번에 세우기
그래프가 y축에 대하여 대칭이므로 x=2에서 극솟값 −25를 가지면 x=−2에서도 극솟값 −25를 가집니다. 즉 곡선 y=f(x)는 직선 y=−25와 x=−2, x=2인 두 점에서 접합니다. 따라서 사차방정식 f(x)+25=0은 x=−2와 x=2를 각각 중근으로 가지고, 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)+25=(x+2)2(x−2)2=(x2−4)2입니다.
이제 f(x)=(x2−4)2−25={(x2−4)−5}{(x2−4)+5}=(x2−9)(x2+1)로 합차 인수분해가 바로 되어, 미분 없이 함수와 x절편 ±3을 한꺼번에 얻습니다. 넓이도 가로 6, 세로 25인 직사각형에서 곡선 y=f(x)와 직선 y=−25 사이의 넓이를 빼는 방법으로 확인할 수 있습니다. 150−∫3−3(x2−4)2dx=150−2465=5045로 같은 답이 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건 (가)를 쓰지 않고 f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d로 놓으면 미지수가 네 개라 조건이 부족해 보입니다. f(−x)=f(x)를 보면 먼저 홀수차항을 지우는 습관을 들이세요.
- f(2)=−25를 풀 때 a=−8을 대입하면 16−32+b=−25이므로 b=−9입니다. 16+32로 부호를 잘못 계산하면 함수 전체가 달라집니다.
- 적분 구간의 끝은 극소점의 x좌표 ±2가 아니라 x축과 만나는 점 ±3입니다. 극값을 주는 점과 x절편을 혼동하지 마세요.
- −3≤x≤3에서 f(x)≤0이므로 ∫3−3f(x)dx를 그대로 계산하면 −5045가 나옵니다. 넓이는 항상 양수이므로 −f(x)를 적분하고, 대칭을 이용했다면 마지막에 2배 하는 것도 잊지 마세요.
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