빈출 유형
역함수 그래프와 넓이
y=x에 대한 대칭
출제의도
이 문항은 함수와 그 역함수의 그래프가 직선 y=x에 대하여 대칭이라는 성질을 넓이 계산에 활용할 수 있는지 확인합니다. 역함수 g(x)의 식을 직접 구하지 않고, 곡선 y=f(x)와 직선 y=x 사이의 넓이를 두 배 하는 방식으로 답을 얻는 것이 핵심입니다.
또한 f(x)가 증가함수일 때 두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점은 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점과 같다는 사실을 이용해 적분 구간을 정합니다.
단계별 힌트
g(x)는 f(x)의 역함수이지만, 식으로 직접 나타내면 네제곱근이 들어가 수학Ⅱ의 적분으로는 다루기 어렵습니다. 함수의 그래프와 그 역함수의 그래프 사이에는 어떤 위치 관계가 있는지 먼저 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
y=f(x)와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭입니다. 또 f(x)=18x4은 x≥0에서 증가하므로, 두 곡선의 교점은 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점과 같습니다.
따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부분은 직선 y=x에 의해 넓이가 같은 두 부분으로 나뉩니다. 그중 곡선 y=f(x)와 직선 y=x 사이의 넓이만 구하면 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
18x4=x에서 교점의 x좌표를 구한 뒤, 그 구간에서 ∫□0(x−18x4)dx를 계산하고 마지막에 2를 곱하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 125
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A증가함수임을 이용해 교점 구하기
f(x)=18x4은 x≥0에서 증가하므로 두 곡선의 교점은 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점과 같습니다. 18x4=x에서 x4−8x=0, x(x−2)(x2+2x+4)=0이고 x2+2x+4>0이므로 x=0 또는 x=2입니다.
STEP B대칭성으로 넓이를 절반으로 나누기
두 곡선은 직선 y=x에 대하여 대칭이므로, 둘러싸인 부분의 넓이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이의 2배입니다. 0≤x≤2에서 x3≤8이므로 x≥f(x), 즉 직선 y=x가 위에 있습니다.
STEP C정적분으로 넓이 계산하기
구하는 넓이는 2∫20(x−18x4)dx=2[12x2−140x5]02=2×(2−45)=125이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 정사각형에서 빼는 역함수 적분
f(0)=0, f(2)=2이므로 곡선 y=g(x)와 x축, 직선 x=2로 둘러싸인 부분은, 곡선 y=f(x)와 y축, 직선 y=2로 둘러싸인 부분을 y=x에 대하여 대칭이동한 것입니다. 따라서 ∫20g(x)dx+∫20f(x)dx는 한 변의 길이가 2인 정사각형의 넓이 4와 같습니다.
구하는 넓이는 ∫20g(x)dx−∫20f(x)dx=4−2∫20f(x)dx이고, ∫2018x4dx=3240=45이므로 넓이는 4−85=125입니다. f(x)의 정적분 하나만 계산하면 되고, 역함수 g(x)의 넓이를 그림으로 바꿔 읽는 연습이 되는 풀이입니다.
실수를 줄이는 전략
- 역함수 g(x)의 식을 직접 구해 f(x)=g(x)를 풀려고 하면 계산이 막힙니다. f(x)가 증가함수이므로 f(x)=x만 풀면 된다는 점을 이용하세요. 감소함수일 때는 y=x 밖에서도 교점이 생길 수 있으니 이 방법을 그대로 쓰면 안 됩니다.
- x4−8x=0에서 x로 양변을 나누면 x=0인 교점을 놓칩니다. x(x3−8)=0으로 묶어 x=0과 x=2를 모두 확인하세요.
- ∫20(x−f(x))dx=65에서 멈추고 ①이나 다른 선택지를 고르는 실수가 흔합니다. 이 값은 대칭인 두 부분 중 한쪽이므로 반드시 2를 곱해야 합니다.
- 140×25=3240=45의 약분에서 실수하지 않도록 주의하세요. 2−45=65이고, 2배 하면 125입니다.