빈출 유형
곡선과 직선 사이의 넓이
극댓값과 접하는 직선
출제의도
이 문항은 도함수로 극댓값 k를 구한 뒤, 곡선 y=f(x)와 직선 y=k로 둘러싸인 부분의 넓이를 정적분으로 계산할 수 있는지 확인합니다. 넓이 계산에 필요한 교점의 x좌표와 두 그래프의 위아래 관계를 스스로 정리하는 것이 핵심입니다.
직선 y=k가 극대점에서 곡선에 접한다는 사실을 알면, 방정식 x3−3x−2=0이 (x+1)2을 인수로 가진다는 것을 바로 이용할 수 있어 교점 계산이 빨라집니다.
단계별 힌트
넓이를 구하려면 두 가지가 필요합니다. 먼저 극댓값 k의 값, 그다음 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 만나는 점의 x좌표입니다. 극댓값은 f′(x)=0이 되는 x에서 찾는다는 것부터 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)이므로 x=−1에서 극대, x=1에서 극소입니다. 따라서 k=f(−1)입니다.
직선 y=k는 극대점에서 곡선에 접하므로, 방정식 f(x)=k는 x=−1을 중근으로 가집니다. 즉 x3−3x−k는 (x+1)2을 인수로 가집니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
x3−3x−2=(x+1)2(x−□)로 인수분해해 나머지 교점을 찾으세요. 두 교점 사이에서는 직선 y=2가 곡선보다 위에 있으므로 ∫□−1{2−f(x)}dx를 계산하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 274
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A도함수로 극댓값 k 구하기
f′(x)=3(x+1)(x−1)=0에서 x=−1 또는 x=1이고, 증감표에서 x=−1일 때 극대입니다. f(−1)=−1+3=2이므로 k=2입니다.
STEP B곡선과 직선의 교점 구하기
x3−3x=2에서 x3−3x−2=0이고, x=−1이 중근이므로 (x+1)2(x−2)=0입니다. 교점의 x좌표는 −1과 2입니다.
STEP C위아래 관계를 확인하고 정적분으로 넓이 계산하기
−1≤x≤2에서 x3−3x≤2이므로 직선이 위, 곡선이 아래입니다. 넓이는 ∫2−1(−x3+3x+2)dx=[−14x4+32x2+2x]−12=6−(−34)=274이므로 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 접하는 삼차함수의 넓이 공식
2−f(x)=−(x3−3x−2)=(x+1)2(2−x)입니다. 즉 구하는 넓이는 ∫βα(x−α)2(β−x)dx 꼴이고, α=−1, β=2입니다.
x−α=t로 치환해 d=β−α라 두면 ∫d0t2(d−t)dt=d43−d44=d412이므로, 최고차항의 계수가 ±1인 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이는 (β−α)412입니다. 여기서 β−α=3이므로 넓이는 8112=274로 적분 계산 없이 곧바로 나옵니다. 단, 최고차항의 계수가 a이면 |a|(β−α)412가 된다는 점을 기억하세요.
실수를 줄이는 전략
- 극댓값과 극솟값을 혼동해 k=−2로 잡는 실수가 있습니다. 증감표에서 f′(x)의 부호가 +에서 −로 바뀌는 x=−1이 극대입니다.
- x3−3x−2=0을 풀 때 인수정리로 근을 하나씩 찾기보다, 직선이 극대점에서 접하므로 x=−1이 중근이라는 사실을 먼저 이용하면 인수분해가 빨라집니다.
- 피적분함수는 반드시 (위쪽 그래프)−(아래쪽 그래프)로 세우세요. f(x)−2로 적분하면 −274이 나와 부호를 다시 고쳐야 합니다.
- 아래끝 −1을 대입할 때 (−1)4=1, (−1)2=1, 2×(−1)=−2의 부호를 하나씩 확인하세요. −14+32−2=−34이고, 6에서 이 값을 빼면 274입니다.