고난도
정적분으로 정의된 함수
사차함수의 극값과 그래프
출제의도
이 문항은 ∫x3f′(t)dt=f(x)−f(3)이라는 정적분의 기본 성질로 방정식을 “곡선 y=f(x)와 직선 y=f(3)의 교점” 문제로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 여기에 사차함수의 극값 배치와 그래프 개형을 결합해 f(x)를 결정해야 합니다.
조건 (다)로 x=0에서의 극값이 극솟값임을 먼저 확정하고, 조건 (가)로 x=3이 가장 낮은 극소점이어야 한다는 사실을 끌어내는 것이 핵심입니다. 마지막에 두 극솟값의 크기를 정적분으로 비교해 m을 결정합니다.
단계별 힌트
∫x3f′(t)dt는 f(x)−f(3)과 같습니다. 그러면 조건 (가)의 방정식은 f(x)=f(3)이 되고, 그 실근의 개수는 곡선 y=f(x)와 직선 y=f(3)의 교점의 개수입니다.
또 최고차항의 계수가 양수인 사차함수가 극값을 세 개 가지면 “극소-극대-극소” 순서입니다. x=0에서 극댓값을 가진다면 f(0)=0이 되어 조건 (다)에 어긋나므로, x=0에서의 극값은 무엇일지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
수평선 y=f(3)이 사차함수의 그래프와 오직 한 점에서 만나려면, 그 수평선이 그래프의 가장 아래 점에 접해야 합니다. 즉 f(3)이 f(x)의 최솟값이어야 하므로 x=3에서 극솟값을 가지고, 이 극솟값이 다른 극솟값 f(0)보다 작아야 합니다.
그러면 극값을 갖는 세 점은 0, 3과 그 사이의 극대점 m이고, m은 정수이므로 m=1 또는 m=2입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
각 경우에 f′(x)=4x(x−m)(x−3)으로 놓고 f(3)−f(0)=∫30f′(x)dx의 부호를 확인하세요. 음수가 나오는 경우만 f(3)<f(0)을 만족합니다.
m이 정해지면 f(x)를 적분상수 C를 포함해 쓰고, 극댓값 f(m)=0으로 C를 결정한 뒤 f(−1)을 계산하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 323
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (나), (다)로 x=0이 극소점임을 확정하기
극댓값이 0이므로 x=0에서 극댓값을 가지면 f(0)=0, 즉 곡선이 원점을 지나게 되어 조건 (다)에 어긋납니다. 따라서 f(x)는 x=0에서 극솟값을 가집니다.
STEP B조건 (가)를 교점 문제로 바꿔 n=3 찾기
∫x3f′(t)dt=f(x)−f(3)이므로 방정식의 실근의 개수는 곡선 y=f(x)와 직선 y=f(3)의 교점의 개수입니다. 교점이 1개가 되려면 x=3에서 극솟값을 가지고 f(3)<f(0)이어야 합니다. m<n이라 하면 n=3이고, x=m에서 극댓값 0을 가지므로 0<m<3입니다.
STEP Cm=1, m=2를 정적분으로 판정하기
m=1이면 f′(x)=4x(x−1)(x−3)=4x3−16x2+12x이고, f(3)−f(0)=∫30f′(x)dx=81−144+54=−9<0이므로 조건을 만족합니다.
m=2이면 f′(x)=4x3−20x2+24x이고, f(3)−f(0)=81−180+108=9>0이므로 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 m=1입니다.
STEP D극댓값 f(1)=0으로 적분상수 정하고 f(−1) 구하기
f(x)=x4−163x3+6x2+C로 놓으면 f(1)=1−163+6+C=0에서 C=−53입니다.
따라서 f(−1)=1+163+6−53=323이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 극대점에서 먼 극소점이 더 깊다
최고차항의 계수가 1인 사차함수가 x=a, b, c (a<b<c)에서 극값을 가질 때, 극대점 b에서 두 극소점까지의 거리를 p=b−a, q=c−b라 하면 정적분으로 계산한 두 “우물의 깊이”는 다음과 같습니다.
f(b)−f(a)=p3(p+2q)3, f(b)−f(c)=q3(q+2p)3
두 식을 비교하면 극대점에서 더 멀리 떨어진 극소점의 극솟값이 더 작습니다. 이 문항에서는 f(3)이 더 작아야 하므로 극대점 m은 0에 더 가까워야 하고, 정수 조건에서 m=1이 바로 결정됩니다. m=1일 때 p=1, q=2이므로 f(1)−f(0)=53, f(1)−f(3)=323이고, 극댓값 f(1)=0에서 f(0)=−53, f(3)=−323까지 한 번에 확인할 수 있습니다. 적분상수 C가 f(0)과 같다는 점도 함께 검산됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건 (가)의 방정식을 적분 계산부터 하려고 하면 길을 잃습니다. ∫x3f′(t)dt=f(x)−f(3)으로 먼저 바꿔 “수평선과의 교점”으로 해석하세요.
- x=3에서 극솟값을 가진다는 것만으로는 부족합니다. f(3)이 다른 극솟값 f(0)보다 작아야 교점이 1개가 되고, f(3)=f(0)이면 교점이 2개가 됩니다.
- m=1, m=2 두 경우를 모두 확인해야 합니다. 한 경우만 계산해 바로 답을 내면 조건 f(3)<f(0)을 검증하지 않은 셈입니다.
- 극댓값 0을 주는 점은 x=m=1입니다. f(0)=0이나 f(3)=0으로 적분상수를 정하는 실수를 하지 않도록, 극대점이 가운데 점이라는 사실을 다시 확인하세요.
- f(−1)을 계산할 때 (−1)3=−1이므로 −163x3 항은 +163이 됩니다. 부호를 놓치면 선택지에 없는 값이 나옵니다.
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