고난도
정적분으로 정의된 함수
삼차함수의 중근과 극값
출제의도
이 문항은 “삼차방정식의 실근이 두 개뿐이면 그중 하나는 중근”이라는 사실로 f(x)의 꼴을 두 가지로 좁히고, 정적분의 부호 조건으로 하나를 골라낼 수 있는지 확인합니다. 이어서 g′(x)=f(x)를 이용해 g(x)의 극소가 어디서 생기는지 판단하고, 극솟값 조건으로 최고차항의 계수를 결정합니다.
핵심은 두 가지입니다. 닫힌구간 [0, 2]에서 f(x)의 부호가 정적분의 부호를 결정한다는 점, 그리고 g′(x)=0이어도 부호가 바뀌지 않는 중근에서는 극값이 생기지 않는다는 점입니다.
단계별 힌트
삼차방정식 f(x)=0의 실근이 0, 2 두 개뿐이라면, 둘 중 하나는 중근이어야 합니다. 최고차항의 계수를 a(a>0)라 할 때 f(x)를 어떤 꼴로 놓을 수 있는지 두 경우를 모두 적어 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
두 경우 f(x)=ax2(x−2), f(x)=ax(x−2)2 각각에 대해 0≤x≤2에서 f(x)의 부호를 조사해 보세요. f(x)≥0이면 ∫20f(x)dx>0, f(x)≤0이면 ∫20f(x)dx<0이므로 조건 (나)를 만족시키는 쪽이 하나로 정해집니다.
또 g′(x)=f(x)이므로 g(x)의 극값은 f(x)의 부호가 바뀌는 곳에서만 생깁니다. 중근인 곳에서는 f(x)=0이어도 부호가 바뀌지 않는다는 점에 주의하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
g(x)는 x=0에서만 극소가 되므로 g(0)=∫01f(t)dt=−11로 a를 구합니다. 적분의 위끝(0)이 아래끝(1)보다 작다는 점에 주의하세요. a를 구한 뒤 g(2)=∫21f(t)dt를 계산하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 f(x)의 꼴 좁히기
삼차방정식 f(x)=0의 실근이 0, 2뿐이므로 둘 중 하나는 중근입니다. 따라서 f(x)=ax2(x−2) 또는 f(x)=ax(x−2)2(a>0)입니다.
STEP B조건 (나)로 f(x) 확정하기
f(x)=ax2(x−2)이면 0≤x≤2에서 x2≥0, x−2≤0이므로 f(x)≤0이고, ∫20f(x)dx<0이 되어 조건 (나)에 어긋납니다.
f(x)=ax(x−2)2이면 0≤x≤2에서 f(x)≥0이므로 ∫20f(x)dx>0입니다. 따라서 f(x)=ax(x−2)2입니다.
STEP Cg′(x)=f(x)의 부호로 극소 찾기
f(x)=ax(x−2)2은 x<0에서 음수, 0<x<2와 x>2에서 양수입니다. g′(x)의 부호가 −에서 +로 바뀌는 x=0에서만 극소가 되고, x=2에서는 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 아닙니다. 따라서 극솟값은 g(0)입니다.
STEP D극솟값 −11로 a 구하기
f(t)=a(t3−4t2+4t)이므로 g(0)=∫01a(t3−4t2+4t)dt=a[14t4−43t3+2t2]01=−1112a입니다.
−1112a=−11에서 a=12이고, f(x)=12x3−48x2+48x입니다.
STEP Eg(2) 계산하기
g(2)=∫21(12t3−48t2+48t)dt=[3t4−16t3+24t2]21=(48−128+96)−(3−16+24)=16−11=5이므로 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · g(2)=g(0)+∫20f(t)dt로 연결하기
극솟값 g(0)=−11을 이미 알고 있으므로 g(2)를 1부터 새로 적분할 필요가 없습니다. g(2)−g(0)=∫20f(t)dt이므로 g(2)=−11+∫20f(t)dt입니다.
여기서 ∫20x(x−2)2dx는 공식 ∫βα(x−α)(x−β)2dx=(β−α)412을 쓰면 1612=43로 바로 나옵니다. a=12이므로 ∫20f(t)dt=12×43=16이고, g(2)=−11+16=5입니다.
a를 구하는 과정도 같은 방식으로 정리할 수 있습니다. g(0)=−∫10f(t)dt이고 ∫10t(t−2)2dt=14−43+2=1112이므로 1112a=11, 즉 a=12입니다. 해설과 같은 결과를 더 적은 계산으로 얻을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- “실근이 0, 2뿐”을 보고 f(x)=ax(x−2)처럼 이차식으로 놓거나, 서로 다른 세 실근을 가정하면 안 됩니다. 삼차함수이므로 둘 중 하나가 중근이라는 두 가지 경우를 모두 세우고 시작하세요.
- 조건 (나)를 확인하지 않고 f(x)=ax2(x−2)로 진행하면 극소가 x=2에서 생기고 g(2) 자체가 −11이 되어 선택지와 맞지 않습니다. 경우를 나눴다면 반드시 조건으로 하나를 걸러내세요.
- x=2에서도 g′(2)=f(2)=0이지만 좌우 부호가 모두 +이므로 극값이 아닙니다. g′(x)=0인 점을 모두 극값으로 보지 말고 부호 변화를 표로 확인하세요.
- g(0)=∫01f(t)dt는 위끝이 아래끝보다 작은 적분입니다. 대입 순서를 뒤집어 계산하면 a가 음수로 나오는데, 조건에서 a>0이므로 이것이 부호 실수의 신호입니다.
- t(t−2)2을 전개할 때 t3−4t2+4t에서 계수를 틀리기 쉽습니다. 부정적분 3t4−16t3+24t2에 t=1을 넣은 값이 11로 극솟값의 크기와 같다는 점으로 검산할 수 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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