빈출 유형
정적분의 성질
대칭구간의 정적분
출제의도
이 문항은 정적분의 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다는 성질과, 이웃한 구간의 정적분을 하나로 합치는 성질을 이용해 조건식을 ∫3−3f(x)dx=54로 정리할 수 있는지 확인합니다.
이어서 대칭구간 [−3, 3]에서 홀수차항 bx의 정적분이 0이 된다는 점을 활용하면 b 없이 a, c에 대한 식이 나옵니다. f(1)+f(−1)과 f(2)+f(−2)도 b가 소거되는 형태이므로, b를 구하지 않고도 답을 얻는 구조를 알아차리는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
우변의 ∫−30f(x)dx를 좌변으로 옮겨 보세요. 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다는 성질을 쓰면, 두 정적분이 이어진 하나의 구간으로 합쳐집니다.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
−∫−30f(x)dx=∫0−3f(x)dx이므로 조건은 ∫3−3f(x)dx=54가 됩니다.
f(x)=ax2+bx+c로 놓으면, 대칭구간 [−3, 3]에서 bx의 정적분은 0이고 ax2+c의 정적분은 [0, 3]에서의 정적분의 2배입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
정적분 조건에서 a, c에 대한 식을 하나 얻고, f(1)+f(−1)=2에서 b가 소거된 또 하나의 식을 얻어 연립하세요. f(2)+f(−2)에서도 b가 사라지므로 b의 값은 구할 필요가 없습니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 26
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건식을 하나의 정적분으로 합치기
∫30f(x)dx−∫−30f(x)dx=54에서 −∫−30f(x)dx=∫0−3f(x)dx이므로 ∫0−3f(x)dx+∫30f(x)dx=∫3−3f(x)dx=54입니다.
STEP B대칭구간 성질로 a, c의 관계식 얻기
f(x)=ax2+bx+c라 하면 ∫3−3bx dx=0이므로 ∫3−3f(x)dx=2∫30(ax2+c)dx=2[a3x3+cx]30=2(9a+3c)=54입니다. 따라서 3a+c=9 ㉠입니다.
STEP Cf(1)+f(−1)=2로 연립하기
f(1)+f(−1)=(a+b+c)+(a−b+c)=2(a+c)=2이므로 a+c=1 ㉡입니다. ㉠, ㉡을 연립하면 a=4, c=−3입니다.
STEP Df(2)+f(−2) 계산하기
f(x)=4x2+bx−3이므로 f(2)+f(−2)=(16+2b−3)+(16−2b−3)=2×(16−3)=26입니다. 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 짝수차 부분만 남겨서 보기
이 문항의 모든 조건과 구하는 값은 x와 −x를 짝지은 형태입니다. 그래서 h(x)=ax2+c라 두면 f(x)+f(−x)=2h(x)이고, 대칭구간 정적분도 ∫3−3f(x)dx=2∫30h(x)dx입니다. 즉 처음부터 b는 문제에 등장하지 않는다고 보고 h(x)만 다루면 됩니다.
조건은 ∫30h(x)dx=27, h(1)=1이고 구하는 값은 2h(2)입니다. 9a+3c=27, a+c=1에서 a=4, c=−3이므로 h(2)=16−3=13, 답은 2×13=26입니다. 이렇게 보면 “b를 모르는데 답이 나올까?” 하는 불안 없이 식 두 개만으로 끝낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- ∫−30f(x)dx를 좌변으로 옮길 때 부호를 놓치기 쉽습니다. −∫−30f(x)dx=∫0−3f(x)dx처럼 위끝과 아래끝을 바꾸며 부호를 한 번 더 바꾸는 과정을 적어 두세요.
- 대칭구간에서 ∫3−3(ax2+c)dx=2∫30(ax2+c)dx입니다. 2를 빠뜨리면 9a+3c=54, 즉 3a+c=18이 되어 답이 달라집니다.
- f(1)+f(−1)=2(a+c)=2에서 a+c=2로 쓰는 실수가 있습니다. 양변을 2로 나누면 a+c=1입니다.
- b의 값을 구하려고 추가 조건을 찾지 마세요. f(2)+f(−2)에서 2b와 −2b가 소거되므로 b는 필요하지 않습니다.
엄선된 풀이 영상
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