빈출 유형
도함수의 정적분
삼차함수의 결정
출제의도
이 문항은 도함수 f′(x)를 정적분하면 원래 함수의 함숫값의 차가 된다는 성질, 즉 ∫baf′(x)dx=f(b)−f(a)를 활용할 수 있는지 확인합니다. 두 정적분이 0이라는 조건을 함숫값이 같다는 조건으로 바꿔 읽는 것이 출발점입니다.
그 결과 f(−2)=f(0)=f(3)=1이라는 세 개의 함숫값이 같아지고, 여기서 g(x)=f(x)−1을 세우면 세 근을 아는 삼차함수가 되어 인수정리로 한 번에 식이 결정됩니다.
단계별 힌트
f′(x)는 f(x)의 도함수이므로 f(x)는 f′(x)의 한 부정적분입니다. 그렇다면 ∫0−2f′(x)dx는 f(x)의 어떤 값들로 표현될지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
∫0−2f′(x)dx=f(0)−f(−2)=0이고, ∫30f′(x)dx=f(3)−f(0)=0입니다. 즉 f(−2)=f(0)=f(3)이고, f(0)=1이므로 세 값이 모두 1입니다.
함숫값이 모두 1인 세 점이 있으므로, f(x)에서 1을 뺀 함수를 생각하면 세 x좌표가 모두 근이 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
g(x)=f(x)−1로 놓으면 g(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 g(−2)=g(0)=g(3)=0입니다. g(x)를 세 일차식의 곱으로 쓴 뒤 f(4)=g(4)+1을 계산하세요. 마지막에 1을 더하는 것을 잊지 마세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 25
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A도함수의 정적분을 함숫값의 차로 바꾸기
∫0−2f′(x)dx=[f(x)]0−2=f(0)−f(−2)=0이므로 f(0)=f(−2)이고, ∫30f′(x)dx=[f(x)]30=f(3)−f(0)=0이므로 f(3)=f(0)입니다.
STEP Bg(x)=f(x)−1로 세 근 찾기
f(0)=1이므로 f(−2)=f(0)=f(3)=1입니다. g(x)=f(x)−1이라 하면 g(−2)=g(0)=g(3)=0이고, g(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로 g(x)=x(x+2)(x−3)입니다.
STEP Cf(4) 계산하기
f(x)=x(x+2)(x−3)+1이므로 f(4)=4×6×1+1=25입니다. 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 계수를 직접 놓고 연립하기
인수 꼴이 바로 떠오르지 않으면 f(0)=1을 이용해 처음부터 f(x)=x3+px2+qx+1로 놓아도 됩니다. f(−2)=1에서 −8+4p−2q=0, 즉 2p−q=4이고, f(3)=1에서 27+9p+3q=0, 즉 3p+q=−9입니다. 두 식을 더하면 5p=−5이므로 p=−1, q=−6입니다.
따라서 f(x)=x3−x2−6x+1이고 f(4)=64−16−24+1=25로 같은 결과가 나옵니다. 다만 이 방법은 연립방정식 계산이 한 단계 더 들어가므로, “함숫값이 같은 점이 여러 개 → 그 값을 뺀 함수의 근”이라는 인수정리 관점을 먼저 떠올리는 것이 시간 면에서 유리합니다. 실전에서는 인수 꼴로 풀고, 이 방법은 검산용으로 쓰면 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- ∫baf′(x)dx를 f′(b)−f′(a)로 계산하는 실수가 있습니다. f′(x)의 부정적분은 f(x)이므로 결과는 f(b)−f(a)입니다.
- f(−2)=f(0)=f(3)을 얻고 곧바로 f(x)=x(x+2)(x−3)으로 놓으면 안 됩니다. 세 함숫값이 0이 아니라 1이므로 반드시 f(x)−1을 인수분해 꼴로 놓아야 합니다.
- 근이 −2이면 인수는 x+2입니다. x−2로 잘못 쓰면 f(4)=4×2×1+1=9라는 엉뚱한 값이 나옵니다.
- g(4)=24를 구하고 멈추지 마세요. 구하는 값은 f(4)=g(4)+1=25입니다.
엄선된 풀이 영상
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