빈출 유형
정적분으로 정의된 함수
적분 구간이 상수인 정적분의 치환
출제의도
이 문항은 식 속에 섞여 있는 두 종류의 정적분을 구별할 수 있는지 확인합니다. 위끝이 x인 ∫x1f(t)dt는 x에 대한 함수이지만, ∫21f(t)dt는 위끝과 아래끝이 모두 숫자이므로 x와 무관한 상수입니다.
이 상수를 k로 놓고 x=1, x=2를 대입해 a와 k에 대한 연립방정식을 세우는 것이 출발점이고, 식이 완성되면 양변을 미분해 f(x)를 구하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
우변의 ∫21f(t)dt를 잘 보세요. 위끝과 아래끝이 모두 숫자입니다. x의 값이 바뀌어도 이 값은 변하지 않으니, 이 덩어리를 무엇으로 바꿔 두면 식이 단순해질지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
∫21f(t)dt=k로 놓으면 주어진 식은 ∫x1f(t)dt=3x3+ax2+kx가 됩니다.
이 식에 x=1을 대입하면 좌변은 위끝과 아래끝이 같아져 0이 되고, x=2를 대입하면 좌변은 ∫21f(t)dt, 즉 k 자신이 됩니다. 미지수 a, k에 대한 식이 두 개 생깁니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
두 식을 연립해 a와 k를 구한 뒤, 완성된 식의 양변을 x에 대해 미분하면 f(x)가 나옵니다. f(3)을 계산한 다음, 구하는 값이 f(3)이 아니라 a+f(3)이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 36
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A상수인 정적분을 k로 치환하기
∫21f(t)dt=k로 놓으면 ∫x1f(t)dt=3x3+ax2+kx입니다.
STEP Bx=1, x=2를 대입해 a, k 구하기
x=1을 대입하면 0=3+a+k, x=2를 대입하면 k=24+4a+2k, 즉 0=24+4a+k입니다. 두 식을 빼면 21+3a=0이므로 a=−7, k=4입니다.
STEP C양변을 미분해 a+f(3) 계산하기
∫x1f(t)dt=3x3−7x2+4x의 양변을 x에 대해 미분하면 f(x)=9x2−14x+4입니다. f(3)=81−42+4=43이므로 a+f(3)=−7+43=36, 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 먼저 미분하고 k의 정의에 되돌려 넣기
대입보다 미분을 먼저 해도 됩니다. 주어진 식의 양변을 x에 대해 미분하면 x·k의 미분은 k이므로 f(x)=9x2+2ax+k입니다. 이제 이 f(t)를 k의 정의에 그대로 넣습니다.
k=∫21(9t2+2at+k)dt=21+3a+k이므로 3a=−21, a=−7이 한 번에 나옵니다. 여기에 x=1 대입 식 0=3+a+k를 쓰면 k=4입니다. “상수로 둔 정적분은 구한 f를 정의에 다시 대입한다”는 이 방식은 상수 정적분이 두세 개 섞인 문제에서도 그대로 통하는 일반 전략이니 꼭 익혀 두세요.
실수를 줄이는 전략
- ∫21f(t)dt를 x의 함수로 착각해 미분할 때 곱의 미분을 적용하거나 f(2)로 바꾸는 실수가 있습니다. 이 값은 상수 k이므로 x·k를 미분하면 그냥 k입니다.
- x=1을 대입할 때 좌변을 f(1)로 쓰면 안 됩니다. ∫11f(t)dt처럼 위끝과 아래끝이 같은 정적분의 값은 항상 0입니다.
- x=2를 대입하면 우변의 kx도 2k가 됩니다. 좌변의 k와 우변의 2k를 정리하는 과정에서 계수를 놓치지 않도록 이항을 차분히 하세요.
- 구하는 값은 f(3)이 아니라 a+f(3)입니다. f(3)=43에서 멈추지 말고, a=−7의 부호까지 반영해 36을 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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