빈출 유형
다항함수의 차수 결정
항등식의 계수 비교
출제의도
이 문항은 F′(x)=f(x)라는 부정적분의 정의를 차수 관계로 옮겨, 미지의 다항함수 F(x)의 차수를 스스로 결정할 수 있는지 확인합니다. F(x)의 차수를 n이라 하면 f(x)의 차수는 n−1, (f(x))2의 차수는 2n−2가 됩니다.
양변의 차수를 비교해 n=3을 확정한 뒤, F(x)를 삼차식으로 놓고 f(x)=F′(x)를 대입해 동류항의 계수를 비교하는 것이 핵심입니다. 좌변에는 사차항이 없으므로 우변의 사차항이 반드시 소거되어야 한다는 점이 첫 번째 방정식을 만들어 줍니다.
단계별 힌트
F(x)는 f(x)의 부정적분이므로 F′(x)=f(x)입니다. F(x)의 차수를 n이라 하면 f(x)의 차수와 (f(x))2의 차수는 n으로 각각 어떻게 나타낼 수 있을까요? 양변의 차수가 같아야 한다는 점을 이용해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)의 차수는 n−1, (f(x))2의 차수는 2n−2입니다. n≤2이면 우변에 남은 −36x4 때문에 우변이 사차식이 되어 좌변과 차수가 맞지 않습니다. n≥4이면 우변의 차수는 2n−2이므로 n=2n−2가 되어야 하는데, 이러면 n=2가 되어 모순입니다.
따라서 n=3뿐이고, 이때 우변의 (f(x))2에서 나오는 사차항과 −36x4이 서로 지워져야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
F(x)=ax3+bx2+cx+d (a>0)로 놓으면 f(x)=3ax2+2bx+c입니다. 이것을 주어진 등식에 대입해 x4, x3, x2의 계수와 상수항을 차례로 비교하면 a, b, c, d가 하나씩 정해집니다. 최고차항의 계수가 양수라는 조건은 a의 부호를 고를 때 사용합니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 11
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A양변의 차수를 비교해 F(x)의 차수 정하기
F(x)의 차수를 n이라 하면 (f(x))2의 차수는 2n−2입니다. n≤2이면 우변이 사차식이 되어 성립하지 않고, n≥4이면 n=2n−2에서 n=2가 되어 모순이므로 n=3입니다.
STEP BF(x)를 삼차식으로 놓고 계수 비교하기
F(x)=ax3+bx2+cx+d (a>0), f(x)=3ax2+2bx+c를 대입하면 ax3+bx2+cx+d=(3ax2+2bx+c)2−36x4+26x3+7x2−5x입니다.
x4의 계수에서 0=9a2−36이고 a>0이므로 a=2, x3의 계수에서 a=12ab+26이므로 b=−1, x2의 계수에서 b=4b2+6ac+7이므로 c=−1, 상수항에서 d=c2=1입니다.
STEP CF(2) 계산하기
F(x)=2x3−x2−x+1이므로 F(2)=16−4−2+1=11이고 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · f(x)만 구하고 등식에 x=2 대입
구하는 값은 F(2)이고, 주어진 등식의 우변은 f(x)만 알면 계산할 수 있습니다. 그래서 F(x)의 상수항 d를 따로 구하지 않고 f(x)만 결정해도 충분합니다.
차수 결정으로 f(x)가 이차식임을 알았으니 f(x)=px2+qx+r (p>0)로 놓고 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=2f(x)f′(x)−144x3+78x2+14x−5입니다. 삼차항에서 4p2=144이므로 p=6, 이차항에서 p=6pq+78이므로 q=−2, 일차항에서 q=2q2+4pr+14이므로 r=−1이고, 상수항 r=2qr−5=−1로 검산도 맞습니다.
f(x)=6x2−2x−1이므로 f(2)=19이고, 주어진 등식에 x=2를 대입하면 F(2)=192−36·16+26·8+7·4−5·2=361−576+208+28−10=11입니다. 미분하는 순간 적분상수가 사라지므로, 상수항을 추적할 필요가 없다는 것이 이 풀이의 장점입니다.
실수를 줄이는 전략
- F(x)와 f(x)의 차수를 같은 문자로 헷갈리면 차수 비교가 틀어집니다. F(x)의 차수를 n으로 정했다면 f(x)는 n−1, (f(x))2는 2n−2라고 적어 두고 비교하세요.
- f(x)를 ax2+bx+c로 새로 놓으면 F(x)의 계수와 문자가 겹쳐 혼란이 생깁니다. F(x)=ax3+bx2+cx+d로 놓았다면 f(x)=3ax2+2bx+c처럼 반드시 미분한 계수를 쓰세요.
- (3ax2+2bx+c)2를 전개할 때 x2의 계수는 (2b)2+2·3a·c=4b2+6ac입니다. 교차항 6ac를 빠뜨리면 c가 틀리게 나옵니다.
- 9a2=36에서 a=±2가 나오는데, 최고차항의 계수가 양수라는 조건 때문에 a=2만 가능합니다. 문제의 조건을 풀이 중간에 반드시 사용하세요.
- 일차항의 계수 c=4bc−5는 해설에서 쓰지 않은 식입니다. 구한 값을 대입하면 −1=4−5로 성립하므로, 계산이 맞았는지 확인하는 검산용으로 활용하세요.
엄선된 풀이 영상
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