빈출 유형
정적분으로 정의된 함수
대칭 구간의 정적분
출제의도
이 문항은 조건 ∫x−xf(t)dt=0을 부정적분 F(x)로 바꾸어 F(x)=F(−x), 즉 F(x)가 y축에 대하여 대칭인 함수라는 사실을 읽어낼 수 있는지 확인합니다. 이 대칭성 덕분에 F(x)와 f(x)의 꼴이 크게 단순해집니다.
이어서 limx→11x−1∫x1f(t)dt가 미분계수의 정의에 의해 f(1)과 같다는 것을 이용해 미정계수를 구하고, 대칭 구간의 정적분 성질로 마무리하는 종합 문항입니다.
단계별 힌트
f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 ∫x−xf(t)dt는 F(x)−F(−x)로 쓸 수 있습니다. 이 값이 모든 실수 x에 대하여 0이라면 F(x)와 F(−x) 사이에 어떤 관계가 성립하는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
F(x)=F(−x)이므로 F(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭입니다. 최고차항의 계수가 14인 사차함수가 이런 대칭을 가지려면 짝수차항만 남아야 하므로 F(x)=14x4+ax2+b 꼴로 놓을 수 있습니다.
또한 1x−1∫x1f(t)dt=F(x)−F(1)x−1이므로, x→1일 때의 극한값은 미분계수의 정의에 의해 F′(1)=f(1)입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
F(x)를 미분해 f(x)를 a로 나타내고, f(1)=4에서 a를 구하세요. 그다음 xf(x)를 전개하면 짝수차항만 남으므로 ∫2−2xf(x)dx는 0부터 2까지 적분한 값의 2배로 계산하면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 1445
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 F(x)=F(−x)로 바꾸기
f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면 ∫x−xf(t)dt=F(x)−F(−x)=0이므로 F(x)=F(−x)입니다. F(x)는 최고차항의 계수가 14인 사차함수이고 짝수차항만 가지므로 F(x)=14x4+ax2+b (a, b는 상수)로 놓을 수 있습니다.
STEP B극한 조건으로 a 구하기
f(x)=F′(x)=x3+2ax입니다. limx→11x−1∫x1f(t)dt=limx→1F(x)−F(1)x−1=f(1)=1+2a=4이므로 a=32이고, f(x)=x3+3x입니다.
STEP C대칭 구간 성질로 정적분 계산하기
xf(x)=x4+3x2은 짝수차항만 있으므로 ∫2−2(x4+3x2)dx=2∫20(x4+3x2)dx=2[15x5+x3]20=2×(325+8)=1445입니다. 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · f(x)의 계수를 직접 결정하기
f(x)=x3+px2+qx+r로 놓고 조건을 바로 계산할 수도 있습니다. 구간 [−x, x]는 0에 대하여 대칭이므로 홀수차항 t3, qt의 정적분은 0이 되고, ∫x−xf(t)dt=2∫x0(pt2+r)dt=2p3x3+2rx입니다. 이 값이 모든 실수 x에 대하여 0이려면 p=0, r=0이어야 합니다.
따라서 f(x)=x3+qx이고, 극한값이 f(1)=1+q=4이므로 q=3입니다. 즉 f(x)=x3+3x로 같은 결과가 나옵니다. 결국 이 문항의 조건은 “f(x)에 홀수차항만 있다”는 뜻이며, 이렇게 해석하면 x·f(x)에는 짝수차항만 남는다는 것도 자연스럽게 보입니다.
실수를 줄이는 전략
- limx→11x−1∫x1f(t)dt의 값을 F(1)로 착각하지 마세요. 이 극한은 F(x)의 x=1에서의 미분계수이므로 f(1)입니다.
- F(x)=14x4+ax2+b를 미분하면 f(x)=x3+2ax입니다. 2a를 a로 착각해 f(1)=1+a=4로 풀면 a=3이 되어 이후 계산이 모두 어긋납니다.
- f(x)에 홀수차항만 있으므로 ∫2−2f(x)dx는 0이지만, 구하는 값은 ∫2−2xf(x)dx입니다. x를 곱하면 짝수차항이 되어 0이 아니라 2배로 계산해야 합니다.
- 15×25=325, 23=8을 더한 뒤 마지막에 2를 곱하는 것을 잊지 마세요. 2배를 빠뜨리면 725가 나옵니다.