빈출 유형
정적분의 성질
대칭 구간의 정적분
출제의도
이 문항은 정적분의 기본 성질 세 가지를 순서대로 적용할 수 있는지 확인합니다. 적분변수를 t로 쓰든 x로 쓰든 정적분의 값은 같다는 점, 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다는 점, 그리고 적분 구간을 이어 붙일 수 있다는 점입니다.
두 정적분을 하나의 구간 [−3, 3]으로 합치고 나면, 대칭 구간에서 홀수차항의 정적분은 0이 되고 짝수차항은 2배가 된다는 성질로 계산을 크게 줄이는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
두 정적분의 피적분함수는 문자만 x와 t로 다를 뿐 같은 식입니다. 적분변수의 이름은 정적분의 값에 영향을 주지 않습니다. 그렇다면 두 번째 정적분 앞의 빼기 부호를 없애려면 적분 구간을 어떻게 바꾸면 될지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀌므로 −∫−30f(x)dx=∫0−3f(x)dx입니다. 그러면 ∫0−3f(x)dx+∫30f(x)dx 꼴이 되어 두 구간을 이어 붙일 수 있습니다.
합쳐진 구간 [−3, 3]은 0에 대하여 대칭입니다. 이런 구간에서 x3, x처럼 홀수차항의 정적분은 0이 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
∫3−3(5x4+2x3−3x2+4x)dx에서 2x3과 4x는 지우고, 남은 5x4−3x2은 0부터 3까지 적분한 값의 2배로 바꿔 계산하세요. 35과 33의 값을 정확히 계산하는 것이 마지막 관문입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 432
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A적분변수를 통일하고 부호 없애기
적분변수 t를 x로 바꿔도 값은 같습니다. 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀌므로 −∫−30(5t4+2t3−3t2+4t)dt=∫0−3(5x4+2x3−3x2+4x)dx입니다.
STEP B두 구간을 하나로 합치기
∫0−3f(x)dx+∫30f(x)dx=∫3−3f(x)dx이므로 주어진 식은 ∫3−3(5x4+2x3−3x2+4x)dx가 됩니다.
STEP C대칭 구간 성질로 계산하기
홀수차항 2x3, 4x의 정적분은 0이고 짝수차항은 2배가 되므로 2∫30(5x4−3x2)dx=2[x5−x3]30=2×(243−27)=432입니다. 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 부정적분 F(x)로 한 번에
피적분함수의 한 부정적분을 F(x)=x5+12x4−x3+2x2이라 하면, 첫 번째 정적분은 F(3)−F(0), 두 번째 정적분은 F(−3)−F(0)입니다. 따라서 주어진 식은 F(0)이 지워져 F(3)−F(−3)이 됩니다.
F(3)−F(−3)을 계산할 때 짝수차항 12x4, 2x2은 x=3과 x=−3에서 값이 같아 서로 지워지고, 홀수차항 x5, −x3은 2배가 됩니다. 즉 2×(35−33)=2×(243−27)=432로 곧바로 답이 나옵니다. 구간을 합치는 과정을 생략해도 같은 결론에 도달하므로, 식의 구조를 한눈에 보는 연습에 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- 적분변수가 t로 바뀌었다고 해서 다른 함수로 착각하지 마세요. 정적분의 값은 적분변수의 문자와 무관하므로 두 식은 같은 함수의 정적분입니다.
- −∫−30을 ∫0−3로 바꿀 때 부호를 한 번만 바꿔야 합니다. 구간도 뒤집고 빼기 부호도 그대로 두면 부호가 두 번 꼬여 전혀 다른 값이 나옵니다.
- 홀수차항이 0이 되는 것은 적분 구간이 [−a, a]처럼 0에 대하여 대칭일 때만입니다. 구간을 합치기 전인 [0, 3]에서 홀수차항을 지우면 틀립니다.
- 짝수차항만 남긴 뒤 2배를 빠뜨리면 216이 나옵니다. 선택지에 없는 값이 나오면 대칭 구간 성질의 2배를 먼저 점검하세요.