빈출 유형
도함수로 원래 함수 구하기
극값과 적분상수
출제의도
이 문항은 도함수 f′(x)의 정보로 f′(x)의 식을 세우고, 부정적분으로 f(x)를 복원한 뒤 극댓값 조건으로 적분상수 C를 결정할 수 있는지 확인합니다.
f′(1)=f′(4)=0에서 f′(x)=3(x−1)(x−4)를 세우는 것이 출발점이고, 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수는 작은 쪽 x=1에서 극대, 큰 쪽 x=4에서 극소가 된다는 사실을 이어서 활용하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
f(x)가 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라면 f′(x)는 몇 차 함수이고, 최고차항의 계수는 얼마일까요? 또 f′(1)=f′(4)=0이라는 조건이 f′(x)의 식에 대해 무엇을 알려 주는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)는 최고차항의 계수가 3인 이차함수이고 1, 4를 근으로 가지므로 f′(x)=3(x−1)(x−4)입니다. 이 식을 전개해 부정적분하면 f(x)를 적분상수 C가 포함된 식으로 나타낼 수 있습니다.
f′(x)의 부호는 x=1의 좌우에서 양에서 음으로, x=4의 좌우에서 음에서 양으로 바뀝니다. 따라서 x=1에서 극대, x=4에서 극소입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
극댓값 조건 f(1)=132로 적분상수 C를 먼저 구한 뒤, 완성된 f(x)에 x=4를 대입하세요. 마지막으로 구하는 값이 극댓값이 아니라 극솟값이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ −7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af′(x)를 세우고 부정적분으로 f(x) 구하기
f′(x)=3(x−1)(x−4)=3x2−15x+12이므로 f(x)=∫(3x2−15x+12)dx=x3−152x2+12x+C (C는 적분상수)입니다.
STEP B극댓값 조건으로 적분상수 C 구하기
증감표에서 x=1일 때 극대이므로 f(1)=1−152+12+C=112+C=132이고, C=1입니다.
STEP C극솟값 f(4) 계산하기
f(x)=x3−152x2+12x+1이므로 극솟값은 f(4)=64−120+48+1=−7이고, 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 극댓값과 극솟값의 차로 C 없이 구하기
극솟값은 극댓값에서 두 극값의 차를 빼면 됩니다. 두 극값의 차는 f(1)−f(4)=−∫41f′(x)dx=−∫413(x−1)(x−4)dx로 계산할 수 있고, 그 값은 272입니다.
일반적으로 최고차항의 계수가 1인 삼차함수가 x=α, x=β (α<β)에서 극값을 가지면 극댓값과 극솟값의 차는 12(β−α)3입니다. 이 문항은 β−α=3이므로 차가 272이고, 극솟값은 132−272=−7입니다. 적분상수 C를 구하는 과정을 통째로 건너뛸 수 있어 시간이 크게 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- f′(x)를 (x−1)(x−4)로 놓으면 안 됩니다. f(x)의 최고차항 계수가 1이면 f′(x)의 최고차항 계수는 3이므로 f′(x)=3(x−1)(x−4)입니다.
- −15x를 적분할 때 −152x2로 계수를 2로 나누는 것을 빠뜨리지 마세요. 적분할 때는 차수를 하나 올리고 올린 차수로 나눕니다.
- 부정적분을 한 뒤에는 반드시 적분상수 C를 붙이세요. C를 빼면 극댓값 조건을 쓸 곳이 없어지고 답이 달라집니다.
- 극대와 극소의 위치를 바꾸어 f(4)에 극댓값을 대입하는 실수가 있습니다. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수는 작은 x에서 극대이므로 증감표로 한 번 더 확인하세요.