고난도
닫힌구간에서의 최대·최소
사차함수의 그래프
출제의도
이 문항은 조건 (가)로 사차함수의 식을 문자 하나로 좁힌 뒤, f′(p)=0을 만족시키는 자연수 p의 후보를 하나씩 대입해 조건 (나)를 확인할 수 있는지 묻습니다. 닫힌구간에서의 최댓값과 최솟값은 그 구간에서 함수가 증가하는지 감소하는지만 알면 끝값과 극값의 비교로 결정된다는 점을 활용합니다.
핵심은 그래프의 구조를 읽는 것입니다. x=0에서 극댓값 f(0)=0을 갖고 0≤x≤p에서 감소하므로, 0<x≤p에서는 f(x)<0입니다. 이 사실 하나로 p가 커질수록 조건 (나)를 만족시키기 어려워지는 이유가 보입니다.
단계별 힌트
f(0)=0이고 f′(0)=0이면 f(x)는 x2을 인수로 가집니다. 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 f(x)=x2(x2+ax+b)로 놓고, 남은 조건 f′(−2)=0으로 b를 a에 대한 식으로 나타내 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
도함수를 인수분해하면 f′(x)=4x(x+2)(x−p) 꼴이 됩니다. 따라서 f(x)는 x=0에서 극대, x=p에서 극소이고, 0≤x≤p에서 감소합니다.
f(0)=0이므로 0<x≤p에서 f(x)<0입니다. p가 크면 닫힌구간 [1, 3], [2, 4]가 모두 함숫값이 음수인 영역에 들어가 M(1)+m(2)>0이 될 수 없습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
p≥3이면 [1, 3] 전체에서 f(x)<0이므로 최댓값 M(1)부터 음수입니다. 따라서 p=1, p=2 두 경우만 직접 확인하면 됩니다. 각 경우 a를 구해 f(2), f(3)을 계산하고 M(1)+m(2)의 부호를 판단하세요. 마지막으로 구하는 값은 p가 아니라 f(p)입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① −53
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 f(x)와 p의 관계 세우기
f(x)=x2(x2+ax+b)로 놓으면 f′(x)=x(4x2+3ax+2b)입니다. f′(−2)=0에서 b=3a−8이므로 f(x)=x2(x2+ax+3a−8), f′(x)=4x(x+2)(x−p)이고 p=8−3a4입니다.
STEP B그래프 구조로 p≥3 제외하기
f(x)는 x=0에서 극댓값 0을 갖고 0≤x≤p에서 감소하므로 0<x≤p에서 f(x)<0입니다. p≥3이면 [1, 3]에서 f(x)<0이므로 M(1)<0이고, m(2)≤f(2)<0이므로 M(1)+m(2)<0입니다. 조건 (나)를 만족시키지 않습니다.
STEP Cp=2일 때 확인하기
a=0이므로 f(x)=x2(x2−8)입니다. [1, 3]에서 최댓값은 양 끝값 f(1)=−7, f(3)=9 중 큰 값 f(3)이고, [2, 4]에서 최솟값은 극솟값 f(2)=−16입니다. M(1)+m(2)=9+(−16)=−7<0이므로 조건 (나)를 만족시키지 않습니다.
STEP Dp=1일 때 확인하고 f(p) 구하기
a=43이므로 f(x)=x2(x2+43x−4)입니다. x≥1에서 증가하므로 M(1)=f(3)=81, m(2)=f(2)=323이고, M(1)+m(2)=2753>0입니다. 따라서 p=1이고 f(1)=1+43−4=−53이므로 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 도함수부터 놓고 적분하기
f′(x)는 최고차항의 계수가 4인 삼차함수이고 f′(−2)=f′(0)=f′(p)=0입니다. p는 자연수이므로 −2, 0과 다른 근이고, 처음부터 f′(x)=4x(x+2)(x−p)=4x3+4(2−p)x2−8px로 놓을 수 있습니다. f(0)=0이므로 적분하면 f(x)=x4+4(2−p)3x3−4px2입니다.
이 식에 x=p를 대입하면 f(p)=−p3(p+4)3이라는 일반식이 나옵니다. 조건 (나)로 p=1을 결정하기만 하면 f(p)=−1×53=−53이 곧바로 나옵니다. a, b를 거치지 않고 p 하나로 식을 쓰기 때문에 경우를 나눌 때도 p에 2, 3을 대입해 f(2), f(3)을 바로 계산할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 최댓값은 항상 양수라고 착각하기 쉽습니다. p≥3이면 [1, 3]에서 함숫값이 모두 음수이므로 최댓값 M(1)도 음수입니다.
- M(1)은 [1, 3], m(2)는 [2, 4]에서의 값입니다. t에 1, 2를 넣은 구간을 정확히 적어 두고 시작하세요.
- p=2일 때 [1, 3] 안에 극소점 x=2가 있으므로 최댓값은 양 끝값 f(1), f(3)을 비교해서 정해야 합니다. 극값이 곧 최댓값이라고 단정하지 마세요.
- p=1일 때 x≥1에서 증가하므로 [1, 3]의 최댓값은 끝값 f(3), [2, 4]의 최솟값은 끝값 f(2)입니다. f(1)을 최솟값으로 쓰는 실수에 주의하세요.
- 구하는 값은 p나 a가 아니라 f(p)입니다. p=1을 구한 뒤 그대로 1을 답으로 고르면 ⑤를 고르게 되니, 마지막에 f(1)까지 계산했는지 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.