빈출 유형
속도와 가속도
두 점 사이의 거리
출제의도
이 문항은 수직선 위를 움직이는 두 점 사이의 거리를 위치의 차의 절댓값으로 나타내고, “f(t)≥f(3)”이라는 조건을 최솟값에 대한 정보로 바꿔 읽을 수 있는지 확인합니다. 거리 함수 f(t)의 최솟값이 0이라는 사실을 사잇값 정리로 보이면 f(3)=0, 즉 두 점이 t=3에서 만난다는 결론이 나오고, 여기서 a가 결정됩니다.
그다음은 위치를 미분해 속도를 구하고, 두 속도가 같다는 식을 k에 대한 이차방정식으로 푸는 계산 단계입니다. “위치가 같다”와 “속도가 같다”를 정확히 구별해 조건마다 알맞은 식을 세우는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
수직선 위의 두 점 사이의 거리는 위치의 차의 절댓값이므로 f(t)=|x1−x2|입니다. 조건 “t≥0인 모든 t에 대하여 f(t)≥f(3)”은 f(3)이 f(t)의 최솟값이라는 뜻입니다. 거리는 0 이상인 값인데, 이 최솟값이 과연 얼마일지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
g(t)=x1−x2로 놓으면 g(0)=−274<0이고, g(t)는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로 t가 한없이 커지면 g(t)도 한없이 커집니다.
연속함수 g(t)가 음수에서 출발해 양수가 되므로, 사잇값 정리에 의해 g(c)=0인 양수 c가 존재합니다. 즉 f(t)=|g(t)|는 0이 되는 순간이 있고, 최솟값은 0입니다. 따라서 f(3)=0, 곧 g(3)=0이며 이 식에서 a가 나옵니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
속도는 위치를 t에 대해 미분한 것입니다. a를 대입한 뒤 dx1dt=dx2dt에 t=k를 넣어 k에 대한 이차방정식을 세우세요. 분수 계수는 양변에 4를 곱해 정리하면 인수분해가 쉬워지고, 마지막에 k>0인 근만 고르면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A거리 함수를 세우고 최솟값이 0임을 보이기
g(t)=x1−x2=t3−2t2+(a+1)t−274이라 하면 f(t)=|g(t)|입니다. g(t)는 연속이고 g(0)=−274<0, limt→∞g(t)=∞이므로 g(c)=0인 양수 c가 있습니다. 따라서 f(t)의 최솟값은 0이고, 조건에서 최솟값이 f(3)이므로 f(3)=0입니다.
STEP Bg(3)=0으로 a 구하기
g(3)=27−18+3(a+1)−274=3a+214=0이므로 a=−74입니다.
STEP C두 속도가 같다는 식으로 k 구하기
두 점의 속도는 dx1dt=3t2−2t−74, dx2dt=2t−1입니다. t=k에서 두 값이 같으므로 3k2−2k−74=2k−1, 정리하면 12k2−16k−3=0, 즉 (2k−3)(6k+1)=0입니다. k>0이므로 k=32이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 상대 위치 g(t) 하나로 끝내기
g(t)=x1−x2는 점 Q에서 본 점 P의 위치(상대 위치)입니다. 두 점의 속도가 같다는 것은 dx1dt−dx2dt=0, 곧 g′(k)=0이라는 뜻입니다. 따라서 두 속도를 따로 구해 비교할 필요 없이, 이미 세운 g(t) 하나만 미분하면 됩니다.
g′(t)=3t2−4t+(a+1)이고 a+1=−34이므로 g′(k)=3k2−4k−34=0이 곧바로 나옵니다. 위치 조건(g(3)=0)과 속도 조건(g′(k)=0)을 모두 같은 함수 g에 대한 식으로 처리하므로, 식을 세우는 과정이 한 줄 줄어들고 부호 실수도 줄어듭니다. 참고로 a=−74일 때 g(t)=(t−3)(t2+t+94)이고 t2+t+94=(t+12)2+2>0이므로, 두 점이 만나는 시각은 t=3 한 번뿐이라는 것도 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- f(3)이 최솟값이라고 해서 f′(3)=0으로 놓으면 안 됩니다. f(t)=|g(t)|는 g(t)=0인 점에서 미분가능하지 않을 수 있고, 실제로 이 문항의 최솟값은 극값이 아니라 “거리가 0″이 되는 점에서 생깁니다. g′(3)=0으로 풀면 a=−16이 나와 전혀 다른 답이 됩니다.
- 최솟값이 0이라는 것을 그냥 가정하지 말고, g(0)<0과 limt→∞g(t)=∞를 근거로 사잇값 정리를 써서 확인하세요. 이 근거가 있어야 f(3)=0이 정당화됩니다.
- g(3)을 계산할 때 27−18+3+3a=12+3a이고, 12−274=214입니다. 상수항 +3(=3×1)을 빠뜨리지 않도록 3(a+1)을 먼저 전개하세요.
- “위치가 같다”(t=3, g(3)=0)와 “속도가 같다”(t=k, 도함수가 같음)는 다른 조건입니다. k=3을 답으로 고르는 실수가 없도록 조건마다 어떤 식을 쓰는지 구별하세요.
- 12k2−16k−3=0의 두 근은 32와 −16입니다. 문제에서 k>0이라고 했으므로 음수 근은 버립니다.
엄선된 풀이 영상
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