빈출 유형
속도와 운동 방향
부등식이 항상 성립할 조건
출제의도
이 문항은 “운동 방향을 바꾸지 않는다”는 문장을 “속도의 부호가 바뀌지 않는다”로 번역할 수 있는지 확인합니다. 위치를 미분해 속도를 구하고, t>0에서 속도가 항상 0 이상이어야 한다는 부등식 조건으로 바꾸는 것이 출발점입니다.
이 부등식은 삼차함수인 속도의 최솟값이 0 이상이라는 조건과 같습니다. 속도를 한 번 더 미분해 최솟값이 생기는 시각을 찾고, 그 값으로 k의 범위를 구하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향은 속도 v의 부호로 결정됩니다. 위치 x를 t로 미분해 속도를 구하고, 출발 직후 속도가 어떤 값에 가까워지는지 먼저 확인해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
v=2t3−3kt2+27이고, t→0+일 때 v→27>0이므로 점 P는 양의 방향으로 출발합니다. 방향을 바꾸지 않으려면 t>0인 모든 t에 대하여 v≥0이어야 합니다.
이는 t>0에서 v의 최솟값이 0 이상이라는 뜻입니다. v를 다시 t로 미분해 증가와 감소를 조사하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
dvdt=6t(t−k)이므로 k가 자연수일 때 v는 t=k에서 최소입니다. t=k를 대입한 속도가 0 이상이라는 부등식을 풀고, 이를 만족하는 자연수 k를 모두 더하세요. 속도가 0이 되는 순간이 있어도 부호가 바뀌지 않으면 방향은 유지된다는 점도 확인하세요.
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정답 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A위치를 미분해 속도 구하기
v=dxdt=2t3−3kt2+27입니다.
STEP B조건을 부등식으로 바꾸기
limt→0+v(t)=27>0이므로 점 P는 양의 방향으로 출발합니다. 운동 방향을 바꾸지 않으려면 t>0인 모든 t에 대하여 v≥0이어야 합니다.
STEP C속도의 최솟값 찾기
dvdt=6t2−6kt=6t(t−k)이므로 0<t≤k에서 v는 감소하고 t≥k에서 증가합니다. 따라서 v는 t=k에서 최솟값 2k3−3k3+27=27−k3을 갖습니다.
STEP Dk의 범위와 합 구하기
27−k3≥0에서 (k−3)(k2+3k+9)≤0이고, k2+3k+9=(k+32)2+274>0이므로 k≤3입니다. 자연수 k는 1, 2, 3이므로 그 합은 6입니다.
1등급 다른 풀이 · k를 분리해서 최솟값과 비교
t>0이므로 부등식 2t3−3kt2+27≥0의 양변을 3t2으로 나누어 k를 한쪽으로 모을 수 있습니다. 그러면 t>0인 모든 t에 대하여 k≤23t+9t2이 성립해야 합니다.
h(t)=23t+9t2이라 하면 h′(t)=23−18t3이고, h′(t)=0에서 t3=27, t=3입니다. h(t)는 t=3에서 최솟값 h(3)=2+1=3을 가지므로 k≤3입니다. 문자 k가 식 안에 섞여 있을 때 최솟값의 위치를 따로 추적하지 않아도 되어, k가 자연수가 아닌 실수 조건으로 바뀌어도 그대로 쓸 수 있는 방법입니다.
실수를 줄이는 전략
- 운동 방향은 가속도가 아니라 속도의 부호로 판단합니다. dvdt의 부호는 속도의 증감을 알려 줄 뿐, 방향 자체를 결정하지는 않습니다.
- k=3일 때 t=3에서 속도가 0이 되지만 그 앞뒤로 속도는 양수이므로 방향은 바뀌지 않습니다. 부등식을 v>0으로 잘못 세워 k=3을 빼면 합이 3이 되어 틀립니다.
- 27−k3≥0에서 k3≤27이므로 k≤3입니다. 인수분해할 때 k3−27=(k−3)(k2+3k+9)의 부호를 헷갈리지 않도록 주의하세요.
- 구하는 값은 k의 개수가 아니라 k의 값의 합입니다. 마지막에 1+2+3=6까지 계산했는지 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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