빈출 유형
고난도
구간이 변하는 최댓값 조건
삼차함수 그래프 개형
출제의도
이 문항은 구간 [−t, t]가 t에 따라 변할 때 최댓값이 항상 0이라는 조건을, 함수의 그래프 개형에 대한 조건으로 번역할 수 있는지 확인합니다. t가 아주 작을 때와 t=3일 때를 함께 생각해야 조건이 완성됩니다.
도함수 f′(x)=x(3x+2a)로 a의 부호에 따른 개형을 비교해 x=0에서 극대여야 함을 찾고, f(0)=0에서 b=0, 이어서 f(x)=x2(x+a)≤0이 [−3, 3]에서 성립하도록 a의 범위를 정하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
t가 0에 아주 가까운 양수일 때 구간 [−t, t]는 x=0 근처의 아주 좁은 구간입니다. 이 좁은 구간에서도 최댓값이 0이 되려면 f(0)은 얼마여야 하고, x=0 근처에서 그래프가 어떤 모양이어야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=x(3x+2a)이므로 x=0과 x=−2a3에서 극값을 가질 수 있습니다. a>0이면 x=0에서 극소, a=0이면 증가함수, a<0이면 x=0에서 극대입니다. 좁은 구간 [−t, t]에서 최댓값이 x=0에서 나오려면 x=0에서 극대여야 하므로 a<0입니다.
또 f(0)=0이어야 하므로 b=0이고, f(x)=x2(x+a)가 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
0<t≤3인 모든 t에 대해 최댓값이 0이려면, 구간 [−3, 3]에서 f(x)≤0이어야 합니다. f(x)=x2(x+a)의 부호는 x+a의 부호가 결정하므로, x=3에서도 x+a≤0이 되도록 a의 범위를 구한 뒤 f(2)=8+4a의 최댓값을 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aa의 부호로 x=0 근처의 개형 판단하기
f′(x)=x(3x+2a)=0에서 x=0 또는 x=−2a3입니다. a>0이면 x=0에서 극소라 작은 t에 대해 최댓값이 f(−t), f(t) 중 큰 값이 되어 0으로 일정할 수 없고, a=0이면 증가함수라 최댓값이 f(t)로 변합니다. 따라서 a<0이고 x=0에서 극대입니다.
STEP Bf(0)=0에서 b=0 구하기
a<0이면 x<0인 모든 x에서 f(x)<f(0)이므로, f(t)≤f(0)인 동안 구간 [−t, t]의 최댓값은 f(0)입니다. 이 값이 0이어야 하므로 f(0)=b=0이고, f(x)=x3+ax2=x2(x+a)입니다.
STEP C[−3, 3]에서 f(x)≤0이 되는 a의 범위
f(x)=x2(x+a)는 x≤−a에서 f(x)≤0, x>−a에서 f(x)>0입니다. 0<t≤3인 모든 t에 대해 최댓값이 0이려면 구간 끝 x=3까지 f(x)≤0이어야 하므로 3≤−a, 즉 a≤−3입니다.
STEP Df(2)의 최댓값 구하기
f(2)=8+4a이고 a≤−3이므로 f(2)≤8+4×(−3)=−4입니다. a=−3일 때 등호가 성립하므로 f(2)의 최댓값은 −4이고, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 조건을 부등식 두 개로 바로 번역하기
조건을 “t=3일 때”와 “t가 아주 작을 때”로 쪼개면 경우 나누기 없이 풀 수 있습니다. 먼저 t=3일 때 [−3, 3]에서 최댓값이 0이므로 이 구간에서 항상 f(x)≤0입니다. 다음으로 t를 0에 가깝게 보내면 구간 [−t, t]가 x=0으로 줄어드는데, 그 안에서도 최댓값 0이 나와야 하므로 연속성에 의해 f(0)=0, 즉 b=0입니다.
이제 f(x)=x2(x+a)≤0이 [−3, 3]에서 성립할 조건만 보면 됩니다. x≠0일 때 x2>0이므로 x+a≤0이 x=3까지 성립해야 하고, 3+a≤0에서 a≤−3입니다. 반대로 a≤−3이면 모든 [−t, t]에서 f(x)≤0이고 x=0에서 0이 되므로 조건을 만족합니다. 따라서 f(2)=4(2+a)≤4×(−1)=−4입니다. a의 부호로 세 경우를 나누는 과정이 “x2(x+a)의 부호”라는 한 줄로 정리됩니다.
실수를 줄이는 전략
- t=3일 때만 확인하면 부족합니다. [−3, 3]에서 최댓값이 0이라는 것만으로는 b=0이 나오지 않으므로, t가 아주 작을 때의 조건으로 f(0)=0을 끌어내야 합니다.
- a>0, a=0인 경우를 검토 없이 건너뛰지 마세요. 해설처럼 세 경우를 나누거나, 다른 풀이처럼 부등식으로 번역해 a의 부호를 자연스럽게 결정해야 합니다.
- f(x)=x2(x+a)의 x절편은 x=0(중근)과 x=−a입니다. a<0이므로 −a는 양수이고, 이 점이 3 이상이어야 한다는 방향을 헷갈리지 마세요.
- 구하는 값은 f(x)의 최댓값이 아니라 f(2)의 최댓값입니다. a≤−3에서 f(2)=8+4a는 a가 클수록 커지므로 a=−3일 때 최대입니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.