빈출 유형
두 함수의 대소 관계
닫힌구간에서의 최댓값
출제의도
이 문항은 두 함수의 대소 관계 f(x)≤g(x)를 차를 이용한 새 함수 h(x)=f(x)−g(x)≤0으로 바꾸고, 닫힌구간에서 h(x)의 최댓값이 0 이하가 되는 조건을 세울 수 있는지 확인합니다.
닫힌구간에서의 최댓값은 극댓값과 양 끝점의 함숫값을 모두 비교해서 정해야 한다는 점을 정확히 적용하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
두 함수를 따로 그려서 비교하기보다 한쪽으로 모아 h(x)=f(x)−g(x)로 두면, 조건은 “닫힌구간 [−2, 2]에서 h(x)≤0″이 됩니다. 그러려면 h(x)의 어떤 값이 0 이하이면 충분할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
h(x)=2x3−3x2−12x−k이고, h′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)입니다.
닫힌구간 [−2, 2]에서 최댓값을 구하려면 극값을 갖는 x=−1과, 구간의 양 끝 x=−2, x=2에서의 함숫값을 모두 비교해야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
h(−2), h(−1), h(2)를 각각 k로 나타내어 가장 큰 값을 고르고, 그 값이 0 이하가 되도록 부등식을 세우세요. 구하는 것은 k의 최솟값입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A차함수로 조건 바꾸기
f(x)≤g(x)에서 2x3+x2−5x≤4x2+7x+k이므로 2x3−3x2−12x−k≤0입니다. h(x)=2x3−3x2−12x−k라 하면 닫힌구간 [−2, 2]에서 h(x)≤0이어야 합니다.
STEP B극값과 끝점 값 비교하기
h′(x)=6(x+1)(x−2)이므로 −2≤x<−1에서 증가, −1<x≤2에서 감소합니다. h(−2)=−4−k, h(−1)=7−k, h(2)=−20−k이므로 최댓값은 h(−1)=7−k입니다.
STEP C부등식 조건으로 k 구하기
닫힌구간 [−2, 2]에서 h(x)≤0이려면 7−k≤0, 즉 k≥7이어야 합니다. 따라서 실수 k의 최솟값은 7이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · k를 분리해 최댓값만 비교
부등식을 2x3−3x2−12x≤k로 정리하고 p(x)=2x3−3x2−12x라 두면, 조건은 “닫힌구간 [−2, 2]에서 p(x)의 최댓값이 k 이하”가 됩니다. k가 없는 함수 p(x)의 값만 비교하면 되므로 계산이 깔끔해집니다.
p(−2)=−4, p(−1)=7, p(2)=−20이므로 p(x)의 최댓값은 7이고, 곧바로 k≥7을 얻습니다. 구간의 양 끝과 극점, 세 점의 함숫값만 계산하면 된다는 점에서 닫힌구간 최대·최소 문제의 가장 짧은 풀이 방식입니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)−g(x)를 계산할 때 x2−4x2=−3x2, −5x−7x=−12x처럼 이항 부호를 차근차근 확인하세요. 여기서 계수가 틀리면 도함수부터 모두 달라집니다.
- 닫힌구간에서는 극댓값이 곧 최댓값이라고 단정하면 안 됩니다. 이 문항은 h(−1)이 가장 크지만, 반드시 끝점 x=−2, x=2의 값과 비교한 뒤 결론을 내리세요.
- h(−2)를 계산할 때 −12×(−2)=+24를 −24로 쓰는 실수가 잦습니다. h(−2)=−16−12+24−k=−4−k입니다.
- h(x)≤0에는 등호가 포함되므로 7−k≤0에서 k=7도 가능합니다. k>7로 착각해 8을 고르지 않도록 주의하세요.