빈출 유형
삼차함수의 극대·극소
선분의 내분점
출제의도
이 문항은 삼차함수의 도함수를 구해 극대·극소가 되는 x의 값을 찾고, 극댓값과 극솟값을 상수 a로 나타낼 수 있는지 확인합니다. 여기에 선분의 내분점 공식을 결합해 a를 결정합니다.
f′(x)=0의 두 근 중 어느 쪽이 극대이고 어느 쪽이 극소인지 증감표로 정확히 판단하는 것이 출발점이고, 내분점이 x축 위에 있다는 조건을 “y좌표가 0″으로 번역하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
극대·극소가 되는 x의 값은 f′(x)=0을 만족하는 x 중에서 f′(x)의 부호가 바뀌는 곳입니다. 먼저 f′(x)를 구해 인수분해해 보세요. 그리고 점이 x축 위에 있다는 것이 좌표로 어떤 뜻인지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=3x2+2x−1=(3x−1)(x+1)이므로 f′(x)=0의 근은 두 개입니다. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수는 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소가 됩니다.
두 점 P, Q에 대하여 선분 PQ를 m : n으로 내분하는 점의 y좌표는 n×(P의 y좌표)+m×(Q의 y좌표)m+n입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
α=−1, β=13이므로 f(α)와 f(β)를 a를 포함한 식으로 구하세요. 3 : 1 내분점의 y좌표 3f(β)+f(α)4=0을 세우면 a에 대한 일차방정식이 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ −19
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af′(x)=0으로 극대·극소 위치 찾기
f′(x)=(3x−1)(x+1)=0에서 x=−1 또는 x=13입니다. 증감표에서 f′(x)의 부호가 +에서 −로 바뀌는 x=−1에서 극대, −에서 +로 바뀌는 x=13에서 극소이므로 α=−1, β=13입니다.
STEP B극댓값과 극솟값을 a로 나타내기
f(−1)=−1+1+1+a=a+1, f(13)=127+19−13+a=a−527입니다. 따라서 P(−1, a+1), Q(13, a−527)입니다.
STEP C내분점의 y좌표를 0으로 놓기
3(a−527)+(a+1)3+1=4a+494=0이므로 4a=−49, 즉 a=−19입니다. 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 극댓값과 극솟값의 차 이용하기
상수 a는 그래프를 위아래로 평행이동시킬 뿐이므로 극댓값과 극솟값의 차는 a와 관계없이 일정합니다. f(α)−f(β)=(a+1)−(a−527)=3227입니다.
선분 PQ를 3 : 1로 내분하는 점은 Q 쪽으로 치우친 점이므로, 그 y좌표는 f(β)에서 전체 높이 차의 14만큼 올라간 값입니다. 즉 f(β)+14×3227=f(β)+827=0이므로 f(β)=−827입니다. 따라서 a−527=−827에서 a=−327=−19입니다. 높이 차 3227는 a=0으로 놓고 계산해도 되므로, 분수가 섞인 식을 한 번에 정리하는 부담이 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- f′(x)=0의 두 근 −1, 13 중 어느 쪽이 극대인지 헷갈리면 안 됩니다. 문제에서 α가 극대, β가 극소라고 했으므로 α=−1, β=13이며, 반대로 대입하면 내분점이 달라집니다.
- m : n 내분점의 좌표는 nP+mQm+n 꼴입니다. 3 : 1이면 Q의 y좌표에 3을, P의 y좌표에 1을 곱합니다. 가중치를 뒤바꾸면 다른 답이 나옵니다.
- f(13)를 계산할 때 127+327−927처럼 분모를 27로 통일하면 −527을 실수 없이 얻을 수 있습니다.
- x축 위에 있는 점은 y좌표가 0인 점입니다. 내분점의 x좌표까지 계산할 필요는 없습니다.