수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(1) Level 1 3번

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03
빈출 유형
04 도함수의 활용(1)
기울기가 주어진 접선
접선의 개수

출제의도

이 문항은 기울기가 m인 접선의 접점의 x좌표가 방정식 f′(x)=m의 실근이라는 사실을 이용해, 접선의 개수를 방정식의 서로 다른 실근의 개수로 셀 수 있는지 확인합니다. 삼차방정식을 인수분해하고, 남은 이차식이 실근을 갖는지 판정하는 과정이 들어 있습니다.

중근은 접점 하나로 세어야 하며, 사차함수에서는 서로 다른 두 접점이 같은 접선을 가질 수도 있으므로 접선의 방정식을 직접 구해 서로 다른 직선인지 확인하는 것이 핵심입니다.

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.
힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

직선 y=x−1에 평행한 접선은 기울기가 1인 접선이고, 직선 y=−15x에 평행한 접선은 기울기가 −15인 접선입니다. 기울기가 정해진 접선의 접점의 x좌표는 어떤 방정식의 해가 되는지 생각해 보세요.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

f(x)=−x4+43x3+x로 놓으면 f′(x)=−4x3+4x2+1입니다. 방정식 f′(x)=1과 f′(x)=−15의 서로 다른 실근의 개수를 조사하세요.

삼차방정식은 인수정리로 일차식 인수를 찾아 인수분해하고, 남은 이차식은 판별식 또는 완전제곱식으로 실근이 있는지 판단합니다.

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

f′(x)=1에서 x2(x−1)=0이 나옵니다. 중근 x=0은 접점 하나입니다. 각 접점에서의 접선의 방정식을 구해 서로 다른 직선인지 확인하세요. f′(x)=−15는 정리하면 x3−x2−4=0이고, x=2를 대입해 보세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ③ 3

상세 해설

수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(1) Level 1 3번 상세 해설 1
수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(1) Level 1 3번 상세 해설 2

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A도함수 구하기

f(x)=−x4+43x3+x로 놓으면 f′(x)=−4x3+4x2+1입니다.

STEP B기울기가 1인 접선의 개수 a 구하기

f′(x)=1에서 −4x3+4x2=0, 즉 x2(x−1)=0이므로 x=0 또는 x=1입니다. f(0)=0, f(1)=43이므로 접선은 y=x와 y=x+13으로 서로 다른 두 직선이고, 둘 다 직선 y=x−1과 일치하지 않으므로 a=2입니다.

STEP C기울기가 −15인 접선의 개수 b 구하기

f′(x)=−15에서 4x3−4x2−16=0, 즉 (x−2)(x2+x+2)=0입니다. x2+x+2=(x+12)2+74>0이므로 실근은 x=2뿐입니다. f(2)=−103이므로 접선은 y=−15x+803의 1개이고 b=1입니다.

STEP Da+b 계산하기

a+b=2+1=3이므로 정답은 ③입니다.

1등급 다른 풀이 · y=f′(x)의 그래프와 수평선의 교점 세기

접선의 개수는 곡선 y=f′(x)와 수평선 y=m의 교점의 개수로 볼 수도 있습니다. f′(x)=−4x3+4x2+1을 하나의 삼차함수로 보고 다시 미분하면 −12x2+8x=−4x(3x−2)이므로, f′(x)는 x=0에서 극솟값 1, x=23에서 극댓값 4327을 갖습니다. (극대·극소는 4단원 뒷부분에서 배우는 내용입니다.)

수평선 y=1은 극솟값과 높이가 같으므로 x=0에서 그래프에 접하고 x>23인 감소 구간에서 한 번 더 만나 교점이 2개입니다. 수평선 y=−15는 극솟값 1보다 아래에 있으므로 x>23인 구간에서만 한 번 만나 교점이 1개입니다. 인수분해 없이도 a=2, b=1을 예상할 수 있고, 마지막으로 접선의 y절편이 서로 다른지만 확인하면 됩니다.

실수를 줄이는 전략

  • x2(x−1)=0에서 x=0을 두 번 세어 a=3으로 쓰면 a+b=4, 즉 오답 ④를 고르게 됩니다. 중근이어도 접점은 하나, 접선도 하나입니다.
  • (x−2)(x2+x+2)=0에서 이차식 부분이 실근을 갖는지 확인하지 않고 해를 3개로 착각하지 마세요. 완전제곱식으로 바꾸면 항상 양수임을 바로 알 수 있습니다.
  • 사차함수에서는 서로 다른 두 접점이 하나의 접선을 공유할 수 있으므로, 접점의 개수를 곧바로 접선의 개수로 단정하지 말고 접선의 방정식을 구해 서로 다른지 확인하세요.
  • ‘평행한 직선’은 주어진 직선과 일치하지 않아야 합니다. 이 문제에서는 접선들의 y절편이 0, 13, 803으로 주어진 직선 y=x−1, y=−15x와 모두 달라 그대로 셀 수 있습니다.

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