변별 포인트
구간별로 정의된 함수의 미분가능성
곱의 미분법
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수 g(x)가 미분가능하다는 조건을 경계점 x=−1, x=1에서의 연속 조건과 미분계수 조건으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. f(x)의 식은 끝까지 주어지지 않지만, 경계점에서의 함숫값과 미분계수만 알면 h′(−1), h′(1)을 모두 a로 나타낼 수 있습니다.
경계점에서는 g(x)=f(x)이고 g′(x)=f′(x)이므로, 곱의 미분법으로 얻은 h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)가 2f(x)f′(x) 하나로 정리된다는 점이 핵심입니다.
단계별 힌트
g(x)는 x=−1과 x=1에서 식이 바뀝니다. 이 두 점에서 미분가능하려면 먼저 연속이어야 하고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 경계점에서 f(x)와 x2+3x+a가 어떤 관계를 가져야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
연속 조건에서 g(−1)=f(−1)=a−2, g(1)=f(1)=a+4입니다.
미분계수 조건에서 g′(−1)=f′(−1)이고, 그 값은 x2+3x+a를 미분한 2x+3에 x=−1을 넣은 1입니다. 같은 방법으로 g′(1)=f′(1)=5입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)에 x=−1, x=1을 넣으면 g와 f의 값이 같으므로 h′(−1)=2f′(−1)f(−1), h′(1)=2f′(1)f(1)입니다. 합이 12임을 이용해 a를 구하고, g(0)은 어느 식으로 계산해야 하는지 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② −2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건으로 경계점의 함숫값 구하기
g(x)는 x=−1, x=1에서 연속이므로 limx→−1+(x2+3x+a)=a−2에서 g(−1)=f(−1)=a−2이고, limx→1−(x2+3x+a)=a+4에서 g(1)=f(1)=a+4입니다.
STEP B미분가능 조건으로 경계점의 미분계수 구하기
x=−1에서 우미분계수는 limx→−1+(x+1)(x+2)x+1=1이고, 좌미분계수는 f′(−1)입니다. 두 값이 같아야 하므로 g′(−1)=f′(−1)=1입니다. 같은 방법으로 x=1에서 좌미분계수 limx→1−(x+4)=5와 우미분계수 f′(1)이 같아 g′(1)=f′(1)=5입니다.
STEP Ch′(−1)+h′(1)=12에서 a를 구하고 g(0) 계산하기
h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)이므로 h′(−1)=2f′(−1)f(−1)=2(a−2)=2a−4, h′(1)=2f′(1)f(1)=10(a+4)=10a+40입니다. (2a−4)+(10a+40)=12에서 a=−2입니다. 0은 −1<x<1에 속하므로 g(0)=0+0+a=−2이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · f를 몰라도 되는 이유를 먼저 보기
p(x)=x2+3x+a라 하면, g(x)가 미분가능하다는 것은 경계점 x=±1에서 f와 p의 함숫값과 미분계수가 모두 같다는 뜻입니다. 그래프로 보면 y=f(x)와 y=p(x)가 두 경계점에서 서로 접하며 이어지는 모양입니다.
또 경계점에서 g=f이므로 h=fg는 그 점에서 f2처럼 행동하고, h′(±1)=2f(±1)f′(±1)=2p(±1)p′(±1)이 됩니다. 즉 f 대신 p만으로 계산할 수 있습니다. p(−1)=a−2, p′(−1)=1, p(1)=a+4, p′(1)=5를 한 번에 적으면 2(a−2)+10(a+4)=12a+36=12이므로 a=−2입니다. 극한식을 일일이 쓰지 않아도 되어 시험장에서 시간을 크게 줄일 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- f(x)의 식이 없다고 해서 막히면 안 됩니다. 이 문항에서 필요한 것은 f(±1)과 f′(±1)뿐이고, 모두 가운데 식 x2+3x+a에서 얻을 수 있습니다.
- 미분가능성은 연속 조건만으로 끝나지 않습니다. 함숫값을 맞춘 뒤 미분계수 f′(−1)=1, f′(1)=5까지 반드시 구해야 h′을 계산할 수 있습니다.
- h′(1)을 계산할 때 2f′(1)f(1)=2×5×(a+4)입니다. 계수 2를 빠뜨려 5(a+4)로 쓰면 a가 달라집니다.
- 마지막에 g(0)을 f(0)으로 착각하지 마세요. x=0은 −1<x<1 구간에 속하므로 g(0)=02+3×0+a=a입니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.